基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量誤差分析與補(bǔ)償

　　摘要：為了解決基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量中透光窗片傾斜和真空腔內(nèi)殘余氣壓對測量精度的影響，本文分析了真空腔拉伸過程中透光窗片傾斜引入的誤差，并提出了透光窗片傾斜誤差檢測和補(bǔ)償方法，同時研究了真空腔內(nèi)殘余氣壓的測量和補(bǔ)償方法。為了驗證所提出方法的可行性，搭建了基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量系統(tǒng)，測量結(jié)果與Edlén公式結(jié)果進(jìn)行對比。實驗結(jié)果顯示，本系統(tǒng)測量結(jié)果與Edlén公式結(jié)果具有較好的一致性，在2.2小時和20分鐘內(nèi)，兩者之間偏差的標(biāo)準(zhǔn)偏差分別為2.34×10-8和2.89×10-8，這表明本文所提出的空氣折射率測量誤差補(bǔ)償方法是可行和有效的，可應(yīng)用于激光干涉精密位移測量中空氣折射率的實時補(bǔ)償。

　　本文源自楊曄; 嚴(yán)利平; 陳本永; 樓盈天， 儀器儀表學(xué)報 發(fā)表時間：2021-07-16

　　關(guān)鍵詞：激光干涉; 空氣折射率測量; 長度可變真空腔; Edlén公式; 誤差補(bǔ)償

　　0 引 言

　　以激光波長為長度基準(zhǔn)的激光干涉位移測量技術(shù)是目前位移測量領(lǐng)域的主流技術(shù)，廣泛應(yīng)用于各種精密測量領(lǐng)域[1-3]。由于激光干涉位移測量大多在空氣中進(jìn)行，而激光在空氣中的波長值與空氣折射率密切相關(guān)，因此空氣折射率測量的準(zhǔn)確性是提高激光干涉儀位移測量精度的關(guān)鍵因素[4,5]。

　　通常，有兩類獲取空氣折射率的方法。一類稱為間接測量方法，先通過傳感器確定溫度，壓力，濕度和 CO2含量等環(huán)境參數(shù)，再利用 Edlén 公式計算空氣折射率。自從 1966 年提出 Edlén 公式以來，研究者們已經(jīng)提出了不同的修正公式來提高計算精度[6-10]。這類方法的測量精度主要受到傳感器和公式自身精度的影響。

　　另一類是以兩端裝有透視窗片的真空腔為敏感單元，通過激光干涉法直接測量空氣折射率。真空腔可分為長度不變和長度可變兩種。當(dāng)真空腔長度不可變時，可以通過真空腔內(nèi)交替產(chǎn)生真空和大氣條件時導(dǎo)致的干涉相位變化確定空氣折射率[11-14]。在這種測量方法中，抽氣過程將導(dǎo)致氣壓和溫度的快速不均勻變化，以及真空腔的變形和振動，這會引起干涉信號的失真并帶來額外的噪聲。因此有了將不同長度的永久真空腔交替放入測量光路來產(chǎn)生相位變化的測量方法 [15-19]。預(yù)先抽空的密閉腔不需要抽氣程序，避免了抽氣過程的相關(guān)干擾。但是這種測量方法只能測量特定范圍的空氣折射率。

　　為了擴(kuò)大空氣折射率的測量范圍，長度可變的真空腔被應(yīng)用于空氣折射率測量系統(tǒng)[20-22]。通過拉伸真空腔可改變測量光路在真空中和空氣中的光程(光程是把光在介質(zhì)中傳播的路程折合為光在真空中傳播的相應(yīng)路程。在數(shù)值上等于介質(zhì)折射率乘以光在介質(zhì)中傳播的路程)，并產(chǎn)生連續(xù)的相位變化，進(jìn)而可測得空氣折射率。采用這種方法，空氣折射率的測量范圍不受限制。但是在拉伸真空腔的過程中，透光窗片的傾斜將影響實際光程的變化，此外，腔內(nèi)殘留空氣也會影響空氣折射率測量結(jié)果。

　　在本文中，我們提出了一種補(bǔ)償長度可變真空腔透光窗片傾斜誤差和腔內(nèi)殘留氣壓誤差的激光干涉空氣折射率測量方法，設(shè)計和搭建了測量系統(tǒng)，進(jìn)行了實驗驗證。

　　1 激光干涉空氣折射率測量原理

　　基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量原理如圖1所示。激光器(Laser)、分光鏡(BS1)、參考角錐棱鏡(M1)和測量角錐棱鏡(M2)構(gòu)成邁克爾遜干涉儀，由透光窗片W1、W2和波紋管構(gòu)成的長度可變真空腔置于干涉儀測量臂，光電探測器(PD1)用于接收干涉信號。當(dāng)窗片W1從B點拉伸至A點，真空腔長度變化LV時，干涉儀測量臂光程隨之變化2(na-no) LV(na 和no分別真空腔外的空氣折射率和真空腔內(nèi)的真空折射率)，則干涉信號的相位變化量Δφ為：

　　2 空氣折射率測量誤差分析和補(bǔ)償方法

　　從式(2)可知，影響空氣折射率測量精度的主要因素是真空腔的拉伸長度LV的定位精度和干涉信號相位變化量Δφ的測量精度。此外，拉伸真空腔時，透光窗片存在的微小傾斜將影響LV和Δφ的測量精度;真空腔內(nèi)殘留氣體引起的腔內(nèi)真空折射率no≠1也會對Δφ的測量引入誤差。

　　2.1 透光窗片傾斜誤差分析和補(bǔ)償

　　2.1.1 透光窗片傾斜誤差分析

　　圖 1 中，透光窗片 W2的底部固定，透光窗片 W1 的底部安裝在線性運動平臺的滑塊上。當(dāng)滑塊帶動 W1 拉伸真空腔時兩窗片將發(fā)生傾斜，如圖 2(a)所示。窗片的傾斜使拉伸后的真空光程變小，同時窗片內(nèi)的光程變大。圖 2(b)是單個透光窗片傾斜誤差分析圖。設(shè)窗片高度為 H(窗片直立時激光光束從其二分之一高處水平穿過)，厚度為 T，傾斜角度為 α。窗片傾斜使真空腔內(nèi)真空光路減少 2Δl： 2 tan ? ? ? l H ? (3)激光光束在單個透光窗片中多走的距離 Δl1為： 1 l l T T 1 = (cos 1) ?? ? ? ? ? (4)

　　2.1.2 透光窗片傾斜誤差補(bǔ)償

　　為了補(bǔ)償透光窗片傾斜誤差對空氣折射率的影響，構(gòu)建了如圖 3 所示的補(bǔ)償光路。激光光束 1 和激光光束 2 分別從真空腔內(nèi)部和外部水平穿過，構(gòu)成測量干涉儀和補(bǔ)償干涉儀。真空腔拉伸過程中，測量干涉儀用于測量空氣折射率，補(bǔ)償干涉儀用于檢測透光窗片傾斜引起的相位變化。從圖 3 可以看出，窗片傾斜時光束 1 和光束 2 在透鏡內(nèi)部光程變化相同，因此用補(bǔ)償干涉儀測得的相位變化量來計算和補(bǔ)償透光窗的傾斜誤差。

　　根據(jù)式(5)，測得 ΔφC后，可計算得到窗片傾斜角度 α：? ?? ? a q C 0 a q 8 arccos 8 T n n T n n ??? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? (6)將式(6)代入式(3)，得到光束 1 在真空光路中的光程減少量 2Δl。? ?? ? a q 0 a q 8 2 tan arccos 8 C T n n l H T n n ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(7)

　　2.2 真空腔內(nèi)殘留氣壓誤差分析和補(bǔ)償

　　在圖 1 所示真空腔拉伸過程中，腔內(nèi)殘余空氣壓強(qiáng)會對空氣折射率測量帶來影響。假設(shè)透光窗 W1 處于位置 B 和 A 時殘留氣體的空氣折射率分別為 n1 和 n2，則真空腔拉伸前后測量臂光程變化引起的干涉信號相位變化量為： V as 1 1 V 1 2 ? ? S 0 4 L n L n L L n ? ??? ? ?? ? (8)式中，L1是透光窗 W1處于位置 B 時真空腔的長度， nas為實際空氣折射率，n1和 n2可根據(jù)真空腔內(nèi)氣體的殘余壓強(qiáng)、溫度等參數(shù)和 Edlén 公式計算。從而得到實際空氣折射率 nas為：? ? 0 S 1 as 2 1 2 V V = 4 L n n n n L L ? ???? ? ? (9)比較式(2)和(9)，可得真空腔殘留氣壓引起的折射率測量誤差?n 為：? ? ? ? 1 2 1 2 V 1 L n n n n L ? ? ? ? ? (10)

　　在計算真空腔內(nèi)的空氣折射率時，首先使用與真空腔相連的真空計獲得拉伸前后的真空腔內(nèi)氣壓，其次因為真空腔由金屬構(gòu)成，金屬優(yōu)良的導(dǎo)熱性使真空腔內(nèi)外溫度相同，所以使用腔外環(huán)境溫度代替真空腔內(nèi)氣體溫度。最后，實驗條件下真空腔內(nèi)殘留氣壓可控制在 100 Pa 以下，CO2含量不大于約 500 ppm。根據(jù) Edlén 公式[23]，算得在低壓干燥空氣環(huán)境下真空腔內(nèi)殘留氣體的空氣折射率，進(jìn)而得到?n 用于補(bǔ)償。

　　2.3 空氣折射率測量和補(bǔ)償光路設(shè)計

　　為了補(bǔ)償真空腔透光窗片傾斜誤差和腔內(nèi)殘留氣壓誤差對空氣折射率測量的影響，設(shè)計了圖 4 所示的空氣折射率測量和補(bǔ)償光路。由固定窗片(W2)、活動窗片(W1)和真空波紋管構(gòu)成的可變長度真空腔放置在分光鏡 BS2、BS1 和角錐棱鏡 M3、M4 之間。W1 安裝在線性移動平臺上，移動平臺在測量過程中拉伸真空腔，真空計測量真空腔內(nèi)的氣壓，溫度計放置于真空腔附近測量環(huán)境溫度。穩(wěn)頻激光器輸出的單頻激光被分光鏡(BS3)和反光鏡(R)分為平行的兩束激光(光束 1、光束 2)，分別作為測量干涉儀和補(bǔ)償干涉儀的光源。其中測量干涉儀由 BS1、電光相位調(diào)制器(EOM1)、兩個角錐棱鏡(M1、M3)構(gòu)成，測量干涉信號由光電探測器(PD1)探測。激光光束 1 往返于真空腔內(nèi)部用于測量真空腔拉伸導(dǎo)致的干涉相位變化 Δφm。補(bǔ)償干涉儀則由 BS2、EOM2、M2、M4 和壓電陶瓷驅(qū)動器(PZT)構(gòu)成，PD2測得補(bǔ)償干涉信號。激光光束 2 往返于真空腔外部，穿透兩個窗片，用于測量窗片傾斜導(dǎo)致的干涉相位變化 Δφc。EOM1和 EOM2 用于對單頻干涉信號進(jìn)行正弦相位調(diào)制，從而采用 PGC-Arctan 相位解調(diào)方法獲得干涉信號相位。同時，分別對真空腔進(jìn)行預(yù)拉伸和對 PZT 進(jìn)行線性調(diào)制，獲得連續(xù)變化的測量干涉信號和補(bǔ)償干涉信號，進(jìn)一步采用橢圓擬合算法對 PGC-Arctan 相位解調(diào)誤差進(jìn)行修正[22]。

　　圖 4 所示光路中，在真空腔拉伸過程中，首先測得 PD1和 PD2干涉信號相位變化量 Δφm和 ΔφC，由式(6)和(7)算得 2?l ;然后根據(jù)真空計和溫度計測得的真空腔拉伸前后腔內(nèi)的氣壓和環(huán)境溫度參數(shù)計算 n1 和 n2;進(jìn)一步根據(jù)式(10)計算 Δn;最后，獲得補(bǔ)償真空腔透光窗片傾斜誤差和腔內(nèi)殘余壓強(qiáng)的空氣折射率 na為： m C 0 V 1 ( ) 1 ( 2 ) 2 2 a n n L l ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?(11)

　　3 實驗和結(jié)果

　　為了驗證所提出的空氣折射率測量和補(bǔ)償方法的有效性，搭建了如圖 5 所示的實驗裝置。激光光源為單頻 He-Ne 穩(wěn)頻激光器(XL-80, Renishaw)，波長為 632.990577 nm。長度可變真空腔由內(nèi)徑為 15 毫米的不銹鋼焊接真空波紋管制成，其端部透光窗片由透射率優(yōu)于 99.8%的熔融石英構(gòu)成，真空計用于檢測真空腔 內(nèi) 壓強(qiáng) 變化 ， 透光 窗片 W1 置于線 性 位移 臺(MTN100CC, Newport)滑塊上，位移臺運動范圍為 100 mm。此外，在測量過程中將空氣折射率補(bǔ)償單元 (XC-80, Renishaw)放置在真空腔附近記錄環(huán)境溫度、濕度和壓強(qiáng)參數(shù)，CO2傳感器(GMT222, Vaisala)測量 CO2含量。XC-80 和 GMT222 采集的環(huán)境參數(shù)用于 Edlén 公式法計算空氣折射率[9]，而且環(huán)境溫度參數(shù)同時用于真空腔內(nèi)折射率的計算。實驗過程中，圖 5 所示的整個實驗裝置用黑色 KT 紙板制成的外罩罩住，以避免局部空氣湍流。

　　3.1 空氣折射率測量過程

　　實驗之前，將真空腔抽成真空，透光窗 W1 處于初始位置 B，真空腔長度 L1=400 mm。首先線性位移臺帶動 W1將真空腔拉升約 10 mm，在此過程中采集 5 個周期的測量干涉信號數(shù)據(jù)進(jìn)行橢圓擬合，獲得測量光路 PGC 解調(diào)修正參數(shù);然后對 PZT 施加三角波調(diào)制信號驅(qū)動 M2 線性移動，在此過程中采集 5 個周期的補(bǔ)償干涉信號進(jìn)行橢圓擬合，計算出補(bǔ)償光路的 PGC 解調(diào)修正參數(shù)，最后 W1 再次返回初始位置 B。具體測量步驟如下：

　　步驟 1：對 EOM1 和 EOM2 施加相同的正弦調(diào)制信號，分別對測量和補(bǔ)償干涉信號進(jìn)行 PGC 相位解調(diào)，記錄測量和補(bǔ)償干涉信號的初始相位 φ1B和 φ2B，同時記錄真空腔內(nèi)壓強(qiáng) P1和環(huán)境參數(shù)。

　　步驟 2：線性平臺以 5 mm/s 的速度拉伸真空腔 LV=98 mm，在此過程中，對測量和參考干涉信號的解調(diào)相位進(jìn)行相位解包裹處理，得到整周期干涉條紋數(shù) N1和 N2，當(dāng)窗片 W1穩(wěn)定于位置 A 且位移臺停止約 5 秒鐘后，記錄測量和補(bǔ)償干涉信號的實時相位 φ1A和 φ2A，同時記錄真空腔內(nèi)壓強(qiáng) P2和環(huán)境參數(shù)。則測量和補(bǔ)償干涉信號的相位變化量分別為; m ? ? ? ? ? ? ? ? = 2 N1 1 1 A B (12) C 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? N A B (13)

　　步驟 3：將 P1、P2和環(huán)境溫度代入低壓 Edlén 公式[23]，得到透光窗 W1處于位置 B 和 A 時真空腔內(nèi)殘留氣體的空氣折射率 n1和 n2;結(jié)合 L1、LV、Δφm、ΔφC 和式(7)、(10)和(11)，可以實現(xiàn)空氣折射率測量。

　　線性位移臺驅(qū)動透光窗 W1返回初始位置 B，重復(fù)上述步驟 1-3，可以持續(xù)測得空氣折射率值。

　　3.2 空氣折射率測量結(jié)果

　　分別進(jìn)行了 2.2 小時長時間和 20 分鐘短時間的空氣折射率測量實驗。在測量過程中，由于補(bǔ)償干涉儀測量臂在空氣中的光程較長(約 500 mm)，導(dǎo)致補(bǔ)償干涉信號相位測量結(jié)果波動較大。為了提高補(bǔ)償干涉相位測量精度，從第 20 組數(shù)據(jù)開始(前 19 組數(shù)只用于擬合計算)，將當(dāng)前測得的相位值 ΔφC與之前測得的所有相位值做最小二乘直線擬合，得到的擬合值 Δφ′C用于空氣折射率測量時透光窗片傾斜誤差的補(bǔ)償。

　　圖 6 是 2.5 小時內(nèi) ΔφC測量結(jié)果及其擬合值，一共進(jìn)行了 150 組測量，得到 131 組測量值(2.2 小時)。可以看出，經(jīng)過線性擬合后，透光窗片傾斜引起的補(bǔ)償干涉儀相位變化基本維持在-2°左右。

　　圖 7 為 2.2 小時內(nèi)未補(bǔ)償透光窗傾斜誤差和殘余壓強(qiáng)誤差的空氣折射率直接測量結(jié)果及環(huán)境參數(shù)變化值。實驗過程中，空氣溫度上升約 0.90 ℃，壓強(qiáng)下降為 120 Pa，相對濕度下降 3.5%，二氧化碳濃度下降約 60 ppm。可以看出，未補(bǔ)償透光窗傾斜誤差和真空腔內(nèi)的殘余氣壓誤差時，直接測得的空氣折射率 na1和 Edlén 公式計算結(jié)果 ne具有相同的變化趨勢，但是兩者之間具有較大的偏差，差值的平均值達(dá)-17.39×10-8，標(biāo)準(zhǔn)偏差為 3.28×10-8。

　　圖 8 為每次測量時 W1在位置 B 和 A 處真空腔內(nèi)殘余壓強(qiáng)值，殘余壓強(qiáng)隨測量時間增加而增加。根據(jù) B 點、 A 點的壓強(qiáng)及環(huán)境溫度，可算得腔內(nèi)殘余空氣折射率 n1和 n2，代入式(10)可獲得殘余氣壓對應(yīng)的折射率補(bǔ)償量?n。圖 9 為補(bǔ)償?n 后空氣折射率測量結(jié)果 na2，可以看出，na2與 ne的偏差有所減小，差值的平均值為減小為 -6.58×10-8，標(biāo)準(zhǔn)偏差為 2.33×10-8。

　　圖 10 為同時補(bǔ)償?n 和透光窗傾斜誤差 ΔφC的空氣折射率最終測量結(jié) na。很明顯，na與 ne的偏差進(jìn)一步減小，差值的平均值為減小為 1.83×10-8，標(biāo)準(zhǔn)偏差為 2.34×10-8。

　　圖 11 為 20 分鐘空氣折射率測量結(jié)果，一共進(jìn)行了 20 組測量。在實驗過程中，空氣溫度大約上升 0.10 ℃，相對濕度下降約 0.40%，環(huán)境氣壓和二氧化碳濃度幾乎不變。補(bǔ)償透光窗傾斜誤差和腔內(nèi)殘余氣壓誤差后，空氣折射率的最終測量結(jié)果和 Edlén 公式結(jié)果差值的平均值為 1.73×10-9，標(biāo)準(zhǔn)偏差為 2.89×10-8。

　　上述實驗結(jié)果表明，通過補(bǔ)償透光窗傾斜誤差和腔內(nèi)殘余氣壓誤差之后，本文設(shè)計的基于長度可變真空腔的空氣折射率測量系統(tǒng)能實現(xiàn)空氣折射率的精密測量。

　　4 測量不確定度分析

　　根據(jù)式(11)，空氣折射率測量不確定度可表示為: 2 2 V 0 V 0 2 2 C C 2 a 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ ( ( ) ) a a a a m m n n u L u L n n u u u u n n u T ??? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ?? (14)式(14)中，第 1、2、3 和 6 項分別表示真空腔拉伸長度不確定度、激光器波長穩(wěn)定性、測量干涉儀相位解調(diào)精度和材料熱膨脹引入的空氣折射率測量誤差。根據(jù)課題組前期驗證[22]，這四項誤差對 u(na)的貢獻(xiàn)分別為 2.7×10-9、5.3×10-12、5.4×10-9和 5.2×10-9。

　　第 4 項表示補(bǔ)償干涉儀相位解調(diào)精度和穩(wěn)定性的影響，根據(jù)實驗測得 ΔφC的數(shù)據(jù)和所采用的 ΔφC線性擬合方法，2.2 小時和 20 分鐘內(nèi)，ΔφC的不確定度分別為 0.35°和 1.82°，對 u(na)的貢獻(xiàn)分別為 3.14×10-9和 1.63×10-8。

　　第 5 項表示真空腔內(nèi)殘留氣壓的影響，根據(jù)空氣折射率計算公式[23]和式(10)，2.2 小時和 20 分鐘內(nèi)，該項對 u(na)的貢獻(xiàn)分別為 8.7×10-9和 5.7×10-9。

　　結(jié)合上述所有空氣折射率測量不確定度影響因素，2.2 小時和 20 分鐘空氣折射率測量不確定度 u(na)分別為 1.22×10-8和 1.91×10-8，該理論分析結(jié)果與實際測量結(jié)果吻合。

　　5 結(jié)論

　　本文詳細(xì)分析了真空腔透光窗片傾斜和腔內(nèi)殘余氣體對基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量方法的影響，提出了基于補(bǔ)償干涉儀同步測量的透光窗傾斜誤差補(bǔ)償方法，并采用真空計實時監(jiān)測測量過程中腔內(nèi)氣壓的變化，進(jìn)一步補(bǔ)償殘余氣壓引入的折射率測量誤差。搭建了基于長度可變真空腔的激光干涉空氣折射率測量及補(bǔ)償實驗裝置，開展了長時間和短時間內(nèi)的空氣折射率測量實驗。實驗結(jié)果表明，補(bǔ)償透光窗傾斜誤差和腔內(nèi)殘余氣壓誤差之后，空氣折射率測量結(jié)果與 Edlén 公式測量結(jié)果偏差的標(biāo)準(zhǔn)偏差可達(dá) 2.89×10-8，證明本方法能實現(xiàn)空氣折射率的精密測量，對于提高激光干涉位移測量精度具有重要的意義。