移動機器人的線性自抗擾控制設計與實驗驗證

　　摘要: 為了實現移動機器人的高精度軌跡跟蹤控制, 設計了一種基于擴張狀態觀測器的擾動抑制方法和相應的實驗驗證平臺. 首先考慮到不確定擾動如車輪縱向和側向滑動對移動機器人系統控制性能的影響, 建立了受擾下的運動學模型; 然后基于擴張后的運動學模型設計了擴張狀態觀測器來估計系統擾動; 接著利用擾動估計構建了線性自抗擾控制器, 并利用Lyapunov函數證明了閉環系統的穩定性; 同時, 基于Matlab/Simulink軟件和微控制器搭建了所推薦控制算法的實驗驗證平臺. 仿真和實驗結果都驗證了所提出控制方法的有效性.

　　關鍵詞: 移動機器人; 軌跡跟蹤; 線性自抗擾控制; 擴張狀態觀測器

　　王會明; 張揚; 王雪闖， 控制理論與應用 發表時間：2021-11-18

　　1 引言

　　當前移動機器人已被廣泛地應用于航天航空, 機場服務, 倉儲物流等各種重要領域, 軌跡跟蹤問題一直是移動機器人控制研究的熱點之一 [1–3] . 為了讓移動機器人達到高精度的跟蹤目的, 學者們提出了很多有效的控制方法, 如反步法控制 [4] , 神經網絡控制 [5–6] , 滑模控制 [7–8] , 自適應控制 [9]等. 然而上面提到的這些控制算法都是建立在“純滾動無滑動”理想條件下的, 并沒有考慮實際運行中擾動對移動機器人控制性能的影響. 因此當移動機器人遭受各種嚴重擾動時, 將會不可避免地影響其控制性能 [10] .

　　為了解決上述存在的問題, 文獻 [11]針對車輪存在縱向滑動, 提出了一種自適應非線性反饋控制器以補償擾動影響實現了軌跡跟蹤的目的. 文獻 [12]提出了一種級聯的控制器結構, 解決了在有界外擾和參數不確定性條件下的輪式移動機器人軌跡跟蹤問題, 并且通過仿真驗證了所提控制方法的魯棒性和有效性. 文獻 [13]討論了輪式移動機器人存在外部擾動和慣性不確定性情況下的自適應滑模軌跡跟蹤控制問題. 文獻 [14]針對具有側向和縱向滑動下的非線性離散時間移動機器人動態系統, 提出了一種基于強化學習的自適應神經網絡控制跟蹤算法. 上述提到的控制策略都在一定程度上提高控制系統的跟蹤性能, 具有良好的擾動抑制能力. 但是,上述方法普遍存在以下問題: 1) 控制器參數多, 調參困難; 2) 算法計算量大, 需要高性能的設備來配合，增加了硬件成本.

　　近些年來, 基于觀測器的抗擾控制方法由于具有眾多優點得到了廣泛關注 [15–17]。常用的觀測器主要有滑模觀測器, 擾動觀測器, 廣義比例積分觀測器, 擴張狀態觀測器等. 文獻 [18]提出了一種基于擾動觀測器的自適應跟蹤控制器, 解決了輪式移動機器人動力學模型中存在不確定擾動的問題, 有效地提高了控制系統的抗干擾能力. 文獻 [19]設計了一種魯棒跟蹤控制策略, 該方法由基于滑模觀測器設計的運動學控制器和非線性擾動觀測器設計的動力學控制器組成, 解決了輸入干擾以及縱向與側向滑動干擾下移動機器人的軌跡跟蹤問題. 應該指出的是上述提到的這些擾動觀測器都可以用來觀測系統擾動, 使用時可以根據所研究系統實際情況來選擇合適的觀測器.

　　本文主要研究不確定擾動情況下輪式移動機器人的軌跡跟蹤問題. 首先建立在車輪縱向和側向滑動情況下移動機器人的運動學模型. 然后利用該模型設計擴張狀態觀測器來估計移動機器人受到的各種擾動, 接著利用擾動估計構建軌跡跟蹤控制器, 同時給出了系統的穩定性證明過程. 最后仿真和實驗結果表明本文提出的控制器能夠有效地抑制干擾對系統性能造成的不利影響, 使移動機器人快速準確地跟蹤上其參考軌跡.

　　2 移動機器人運動學模型描述

　　如圖1所示, 定義XOY坐標系為固定參考坐標系, 移動機器人配備了兩個主動輪和一個從動輪. 主動輪通過電機給移動機器人提供動力, 可通過改變電機的輸入電壓調節速度, 達到調節移動機器人位姿的目的. 從動輪主要起到維持機器人平衡的作用. 關于圖中的符號做如下說明: r表示車輪的半徑, b表示車輪之間距離的一半(輪距), P表示車輪之間距離的幾何中心, C為移動機器人的質心, d表示P, C兩點之間的距離.

　　定 義 移 動 機 器 人 的 完 整 位 姿為q = [x y θ ?r ?l ] T , 考慮其在實際運行時由于地面濕滑、摩擦等原因受到縱向和側向滑動擾動影響, 輪式移動機器人滿足下列非完整約束方程 [20]:

　　式 中, x和y表 示 移 動 機 器 人 在 固 定 參 考 坐 標系(XOY坐標系) 下的坐標, θ表示方向角, ζ表示側向滑 動 線 速 度, ?r和?l表 示 兩 主 動 輪 的 角 位 移, ηr和ηl表示兩主動輪的縱向滑動角速度.

　　則受到車輪縱向和側向滑動擾動影響的輪式移動機器人運動學模型可描述為:

　　3 運動學控制器設計與穩定性分析

　　定義跟蹤誤差ex = x − xr, ey = y − yr, 結合公式(2)可得: [ e˙x e˙y ] = [ cos θ − d sin θ sin θ d cos θ ] [v ω ] − [ x˙ r y˙r ] + [ d1 d2 ] = [ u1 u2 ] − [ x˙ r y˙r ] + [ d1 d2 ] . (3) 式中， [ d1 d2 ] = [ −ςv cos θ + (dςω − ζ) sin θ −ςv sin θ − (dςω + ζ) cos θ ] . 假設 1 假設系統(3)中擾動d1, d2的一階導數存在，且滿足條件∥[ ˙d1 ˙d2] T ∥ ≤ µ, µ ∈ R+.

　　3.1 運動學控制器設計

　　定 義x1 = ex, x2 = ey, xd1 = d1, xd2 = d2, 系統(3)可擴張為如下形式：????????????? x˙ 1 = u1 − x˙ r + xd1 , x˙ d1 = ˙d1, x˙ 2 = u2 − y˙r + xd2 , x˙ d2 = ˙d2. (4) 根據上式可設計如下所示的擴張狀態觀測器(ESO): ????????????? ˙xˆ1 = u1 − x˙ r + ˆxd1 − β1(ˆx1 − x1), ˙xˆd1 = −β0(ˆx1 − x1), ˙xˆ2 = u2 − y˙r + ˆxd2 − γ1(ˆx2 − x2), ˙xˆd2 = −γ0(ˆx2 − x2). (5) 式中, xˆ1, xˆ2, xˆd1 , xˆd2 分別為x1, x2, xd1 , xd2 的估計, β0, β1, γ0, γ1 > 0 為觀測器增益, βi , γi的配置原則分別 滿 足 使 特 征 多 項 式po1 = s 2 + β1s + β0, po2 = s 2 + γ1s + γ0 的根軌跡全部位于復平面s的左半平面 [21]

　　基于擴張狀態觀測器的擾動估計, 可設計線性自抗擾控制器為(LADRC) [21–22]: [ u1 u2 ] = [ x˙ r − kxex − xˆd1 y˙r − kyey − xˆd2 ] . (6) 式中, kx, ky > 0 為控制器增益. 然后根據下式: [ v ω ] = [ cos θ − d sin θ sin θ d cos θ ]−1 [ u1 u2 ] . (7) 可得系統(2)中的v和ω.

　　3.2 穩定性分析

　　將控制律(6)帶入到系統(3)中, 在設計的控制器作用下, 跟蹤誤差的動態方程可寫為: { e˙x = −kxex − ed1 , e˙y = −kyey − ed2 . (8) 式 中, ed1 = ˆxd1 − d1, ed2 = ˆxd2 − d2. 將 式(5)減 去式(4), 可得觀測器的誤差動態方程為: ????????????? e˙x1 = ed1 − β1ex1 , e˙d1 = − ˙d1 − β0ex1 , e˙x2 = ed2 − γ1ex2 , e˙d2 = − ˙d2 − γ0ex2 . (9) 定義下列變量E1 = [ex ey] T , E2 = [ex1 ed1 ] T , E3 = [ex2 ed2 ] T , 結合公式(8)和(9), 可得閉環系統誤差動態方程為: E˙ = AE + D. (10)式中, E = ??? E1 E2 E3 ??? , A = ??? A1 B1 B2 0 A2 0 0 0 A3 ??? , D = ??? 0 B2 ˙d1 B2 ˙d2 ??? . A1 = [−kx 0; 0 − ky], A2 = [−β1 1; − β0 0], A3 = [−γ1 1; − γ0 0], B1 = [−1 0]T , B1 = [0 − 1]T . 由于A 為Hurwitz矩陣, 因此存在對稱正定矩陣P ∈ R6×6 , 使得AT P + P A = −I條件成立.

　　定理 1 對于受擾移動機器人系統(2), 在擴張狀態觀測器(5)和控制器(7)中參數選擇合適的情況下, 若系統(2)中的擾動滿足假設1, 則系統跟蹤誤差將會漸近收斂至下面的有界區域 Z = {E|∥E∥ 2 ≤ µ 2λ 2 max(P ) λ 2 min(P )(1 − λmax(P))}.(11) 式中, λmin(P ), λmax(P )分別為正定矩陣P的最小, 最大特征值.

　　證明: 定義Lyapunov函數V (E) = ETP E, 對該函數求導可得: V˙ (E) = 2E TP E˙ = 2E TP (AE + D) = −∥E∥ 2 + 2E T P D ≤ −∥E∥ 2 + 2λmax(P )∥E∥∥D∥ ≤ −∥E∥ 2 + λmax(P )∥E∥ 2 + λmax(P )∥D∥ 2 = −(1 − λmax(P ))∥E∥ 2 + λmax(P )∥D∥ 2 . (12) 由于 V (E) λmax(P ) ≤ ∥E∥ ≤ V (E) λmin(P ) . 將上式帶入到公式(12)中可得: V˙ (E) ≤ −( 1 λmax(P ) − 1)V (E) + λmax(P )∥D∥ 2 . 根據假設1可得上式的解 V (E) ≤ µ 2λ 2 max(P ) 1 − λmax(P ) + (V (0) − µ 2λ 2 max(P ) 1 − λmax(P ) ) × e −[ 1 λmax(P ) −1] . 則系統跟蹤誤差將會漸近收斂至有界區域(11). 證明完畢.

　　注 1 針對移動機器人軌跡跟蹤控制問題, 本文貢獻主要有三點: 1) 建立了系統在各類擾動影響下的運動學模型; 2) 給出了包括控制器(6) 和觀測器(5) 在內的整個機器人閉環系統的詳細穩定性證明過程; 3) 后續的仿真和實驗測試驗證了所提控制方法的有效性.

　　4 仿真與實驗測試

　　為了顯示所推薦控制方法的優點, 我們給出了其與傳統PI控制方法的仿真和實驗對比結果. 測試中用到的PI 控制器設計如下: [ v ω ] = [ cos θ − d sin θ sin θ d cos θ ]−1 [ u1 u2 ] , (13a) [ u1 u2 ] = [ x˙ r − kP1 ex − kI1 ∫ t 0 exdτ y˙r − kP2 ey − kI2 ∫ t 0 eydτ ] . (13b) 式中, kP1 , kP2 , kI1 , kI2 > 0 為控制器增益. 仿真和實驗測試中用到的參考軌跡為 [23]: xr = cos(0.1t), yr = sin(0.1t) cos(0.1t), θr = tanh(¨yr/x¨r). 其 中, tanh(∗)表示反正切函數, θr ∈ [−π π]. 測試用的移動機 器 人 平 臺 的 物 理 參 數 為: r = 0.0625 m, b = 0.1645 m, d = 0.1 m.

　　4.1 仿真測試

　　假設移動機器人在前30 s未受到外界擾動影響, 30 s之 后 受 到 如 下 形 式 的 外 加 擾 動: d1 = −d2 = −0.1 sin(0.02πt) (30 s ≤ t < 70 s), d1 = d2 = 0 (70 s ≤ t ≤ 100 s). 在該仿真實驗中, 假 設 移 動 機 器 人 的 初 始 位 姿為q(0) = [−0.2 0.2 0 0 0]T , 推薦控制器的增益選 為kx = ky = 0.5, β0 = γ0 = ρ 2 , β1 = γ1 = 2ρ, ρ = 2.5; PI 控 制 器 參 數 設 置 為: kP1 = kP2 = 1, kI1 = kI2 = 0.25, 仿真步長設置為0.01 s.

　　仿真結果如圖2-3所示, 圖2分別描述了在所推薦控制方法和傳統PI控制方法作用下移動機器人的參考位置和實際位置, 位置跟蹤誤差, 航向角跟蹤以及線速度和角速度變化曲線, 圖3給出了所提控制方法中擴張狀態觀測器對擾動的估計曲線. 從圖2b(1)與圖2b(2)中可以看到, 當移動機器人受到外部擾動影響時, 與傳統的PI控制算法相比, 本文提出的控制算法可以使機器人獲得更小的跟蹤誤差, 這表明所提的控制算法具有很好的跟蹤性能和較強的干擾抑制能力.

　　需要指出的是由于我們研究的移動機器人系統是一個微分平坦的系統, 根據微分同胚映射, 狀態θ可以由系統的平坦輸出(x, y) 來表示. 因此只要能夠保證實際位置(x, y)跟蹤上其參考位置(xr, yr), 狀態θ就可以在一定誤差范圍內跟蹤上θr, 這一點也可以通過圖2c的測試結果得到驗證. 關于移動機器人微分平坦屬性的詳細介紹及相應的控制器設計思路, 可以參考文獻 [24].

　　4.2 實驗驗證

　　圖4是用于算法驗證的移動機器人實驗平臺, 該移動機器人主要由微控制器, 直流減速電機, 電池, 車輪以 及 鋁 合 金 的 車 身 組 成. 微 控 制 器 的 型 號為STM32F103RCT6, 該控制器運行底層電機速度控制算法. 兩臺24V直流減速電機為機器人提供動力, 可通過500線光電編碼器測量轉速信息. 圖5是系統整體框架圖, 該系統主要由搭載微控制器的移動機器人和執行Matlab/Simulink的計算機兩部分組成. 首先, 微控制器利用串口外設接收Matlab/Simulink發來的控制指令(線速度和角速度), 并隨即將控制指令轉化為相應的左, 右輪直流電機的轉速指令, 同時又可以利用定時器外設以定時采樣的方式得到兩編碼器的增量值, 計算兩臺直流電機的實際轉速; 然后, 通過兩直流電機的轉速信息可計算出當前時刻的線速度和角速度, 并且采用基于運動學模型的里程計算法推算出當前位置(通過串口發送到Matlab/Simulink); 最后, 運行底層電機控制算法的微控制器利用直流電機的轉速指令和實際轉速之間的差值計算出PWM信號, 將該信號作用到直流電機驅動器上, 實現速度調節的功能.

　　在該實驗測試中, 移動機器人的初始位姿設置為q(0) = [0 0 0 0 0]T , 實驗中推薦控制器和PI控制器的參數設置分別與仿真測試時相同. 兩種控制方法的采樣控制周期都設置為0.01 s. 實驗結果如圖6-7所示, 分別描述了在兩種控制方法下移動機器人在X軸和Y軸方向的軌跡跟蹤效果, 線速度和角速度的跟蹤效 果 以 及 對 擾 動 的 估 計 結 果. 根 據 圖6b(1)和圖6b(2)的位置跟蹤誤差曲線可以看出, 在機器人穩態運行至30 s時施加擾動，所推薦控制方法的跟蹤誤差范圍±0.05 m明顯小于PI控制方法的跟蹤誤差范圍±0.1 m. 結果表明本文提出的控制方法具有較好的抗干擾能力.

　　注 2 通過比較本文所推薦的控制器(4)-(7)和PI 控制器(13)可以看出, 本文所設計的控制器結構簡單, 調參數量少(調參數量與PI 控制器的數量相同都只有兩個). 同時與已有研究成果 [11–14]相比, 所推薦方法由于使用ESO來實時動態的估計系統干擾, 不需要設計計算量較大的自適應或者強化學習機制, 因而可以有效降低系統計算負擔.

　　5 結語

　　為了解決移動機器人在干擾情況下的軌跡跟蹤控制問題, 首先, 建立起移動機器人在車輪縱向和側向滑動情況下的運動學模型; 其次, 根據擴張狀態觀測器對擾動的估計, 提出了一種基于線性自抗擾的軌跡跟蹤控制方法; 然后, 通過定義的Lyapunov函數證明了系統的穩定性; 最后, 仿真和實驗結果都驗證了所提控制方法的有效性和魯棒性. 為了進一步提高移動機器人的跟蹤性能, 接下來我們將利用高性能的微控制器來設計和驗證基于非線性擴張狀態觀測器的自抗擾控制算法和滑模控制算法.