計及電樞和零序回路電阻壓降的可變磁通磁阻電機弱磁控制

　　摘要 在可變磁通磁阻電機的弱磁控制中，忽略電樞和零序回路上的電阻壓降會影響弱磁區內參考電流的計算，這會導致電流環飽和，電機電流不能跟隨給定值。在這種情況下，電機在弱磁區的輸出功率會受到限制。為了解決此問題，提出一種計及電樞和零序回路電阻壓降的弱磁控制方法。首先，該方法基于電壓方程以及電壓和電流的約束，利用拉格朗日極值法求取弱磁區內考慮電阻壓降后的最優電流參考值的公式。然后，利用牛頓拉夫遜迭代法根據當前電機的狀態計算出電流參考值。考慮電阻壓降后，弱磁區內參考電流的計算準確度得到提高，有利于可變磁通磁阻電機在弱磁區內的穩定運行。最后，通過實驗結果驗證了該方法的有效性。

　　本文源自郭佳強; 劉旭; 李珊瑚， 電工技術學報 發表時間：2021-07-05

　　關鍵詞：可變磁通磁阻電機 弱磁控制 電阻壓降 參考電流

　　0 引言

　　可變磁通磁阻電機(Variable Flux Reluctance Machine, VFRM)是一種定子勵磁的無刷同步電機[1]，其轉子上沒有繞組或永磁體。VFRM 的散熱性能良好、調速范圍寬、性能穩定、成本低[2-3]，具有良好的應用前景。在 VFRM中使用集成勵磁和電樞繞組，繞組中注入含有交流和直流分量的定子電流。定子電流的交流分量作為電樞電流，直流分量作為勵磁電流[4]。根據零序分量的定義[5-11]，定子電流的直流分量是零序電流。為了給零序電流提供回路，在 VFRM 的控制系統中使用共直流母線的雙逆變器結構[12-13]。

　　VFRM 的反電動勢幅值與轉速成正比，因此在額定負載下，當電機的速度超過基速時，逆變器的輸出電壓將無法滿足需求[14]。為了拓寬調速范圍，需要通過弱磁控制將 d 軸電流調節為負值從而削弱反電動勢[15]。弱磁控制通常分為基于反饋或基于前饋的方法[16-25]。在基于反饋的方法中，通常通過電流環的輸出電壓與最大電壓之間的偏差來調制 d 軸電流。在前饋方法中，通常通過等轉矩曲線，電流或電壓極限圓的交點來計算弱磁區中的工作點。在基于前饋的方法中，為了簡化電流參考值的計算，通常忽略電阻壓降。文獻[26]分析了忽略電阻壓降對弱磁控制的影響：當忽略繞組電阻壓降時，參考電流將高于電機的實際需求，使得電流環飽和，從而導致逆變器飽和，這不僅增加了電流諧波，還將使電機失控甚至損壞。考慮電阻壓降后計算出的電流參考值可以使電機在弱磁區域內沿著最佳的電流軌跡穩定運行。文獻[27-28]提出基于插值的參考電流計算方法，該方法考慮了弱磁區域的 dq 軸上的電阻壓降。文獻[29]分析了繞組和逆變器中的電阻壓降，并用來補償 q 軸電壓，從而使電機沿著最佳電流軌跡運行。文獻[30]提出一種基于牛頓拉夫遜算法的參考電流在線計算的方法。然而，上述研究針對的都是永磁同步電機中 dq 軸(電樞繞組)上的電阻壓降。與永磁同步電機相比，VFRM 除了電樞繞組上的電阻壓降外，還有零序回路中的電阻壓降，如果要準確計算弱磁區中的參考電流，需要同時考慮電樞和零序回路上的電阻壓降。

　　為了解決上述問題，本文對 VFRM 在弱磁區內考慮電阻壓降的電流參考值計算進行分析。基于電壓和電流的約束方程，采用拉格朗日乘數法計算出弱磁區中 VFRM 的最優參考電流方程，并用牛頓拉夫遜算法進行迭代求解。首先介紹 VFRM 的拓撲和數學模型。然后分析了考慮電阻壓降的最優工作點軌跡的計算方法。最后將該方法在一臺 6/4VFRM 上實現，通過實驗結果對該方法進行驗證。

　　1 VFRM 的模型

　　圖 1 為使用零序電流勵磁的 6/4VFRM 的拓撲結構。VFRM 的電樞繞組和勵磁繞組并聯。在 VFRM 的繞組中，定子電流含有交流和直流分量。定子電流的交流分量充當電樞電流，而直流分量充當勵磁電流。為了給零序電流提供回路，采用公共直流母線的雙逆變器結構。三相電流的表達式為? ? a a c e d c b a c e d c c a c e d c c o s 2 π c o s 3 2 π c o s 3 i i t i i i t i i i t i ???? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? (1)式中，ia、ib、ic 為三相電流;iac 為相電流的交流分量幅值;idc 為相電流的直流分量(在后文中用 i0 表示);?e 為電角速度。

　　完整的 VFRM 電壓方程如式(2)所示，其中含有 3 次變化分量[4]，這些 3 次分量是相 2 次諧波在 dq 平面上的映射[31]，有 d δ δ s e e δ d d q δ δ q s q e s e 0 0 δ 0 s d c o s 3 s in 3 2 2 d d s in 3 c o s 3 0 2 2 d d 0 2 d L L i L L t u i L L i u R i L t u i L i L t ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? δ e s δ e d e s δ e δ e δ q 0 s in 3 c o s 3 0 c o s 3 s in 3 0 0 0 L L L i L L L L i i ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(2)式中，ud、uq 和 u0 分別為 dq0 軸電壓分量;id、iq、 i0 分別為 dq0 軸電流分量;Rs 為繞組的電阻;Ls 為定子電感的恒定分量;L? 為定子電感的變化分量;?e 為電角度。

　　由式(2)可知，在正弦電流條件下，反電動勢中含有諧波，而基波電流環只能輸出正弦電壓，不能補償這些諧波，在實際控制中會造成電流畸變。畸變的電流不利于弱磁區中的電流控制，還會降低控制系統的穩定性，增加電機的損耗。因此，在本文中，通過諧波電流環對基波電壓進行補償，從而抑制電流的畸變[24]。通過諧波電流環，一方面對反電動勢中的諧波進行補償，抑制了諧波電流;另一方面，可以將定子電壓分離為基波分量和諧波分量，有利于弱磁區中參考電流的計算。在使用諧波電流環對電壓進行補償后，在弱磁控制中推導參考電流時，可以只使用電壓方程的基頻分量。這時，將電壓方程式(2)中的 3 次分量忽略，得到 VFRM 的簡化電壓方程為 d 0 d s d e s q s δ q q s q e s d e δ 0 s δ d 0 0 s 0 s d d d d d d d d 2 d d i i u R i L i L L t t i u R i L i L i L t L i i u R i L t t ?? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ???? ? ? ??? (3) VFRM 的瞬時轉矩為? ? ? ? r 2 2 e δ 0 q δ d q e 3 1 s in 3 2 2 4 N T L i i L i i ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?(4)式中，Nr 為轉子極數;? 為超前電流角。

　　弱磁控制中參考電流的計算僅涉及平均轉矩。因此，僅使用電磁轉矩方程式的平均轉矩表達式。平均轉矩是式(4)中的恒定分量，即 e r δ q 0 3 2 T N L i i ? (5)

　　2 弱磁區控制方法

　　2.1 電流和電壓約束

　　基于逆變器或電機的溫度限制，可以確定 imax (最大定子電流)[33]。參考電流應滿足 2 2 d q 2 2 0 m a x 2 2 i i ? ? i i ≤ (6)最大電壓 umax 由直流母線電壓和脈沖寬度調制(Pulse Width Modulation, PWM)策略決定[33]。在 VFRM 中，反電動勢中的諧波會降低直流母線電壓的利用率[4]。相電壓的峰值大于基波幅值。因此，當相電壓的峰值達到 Udc 時，相應的基波分量幅值被確定為最大電壓，從而避免逆變器飽和。考慮零序電壓后，電壓約束關系為? ? 2 2 2 d q m a x 0 u u u u ? ? ≤ (7)將式(3)代入式(7)并忽略 dq 軸上的電阻性電壓降，可以將電壓約束重寫為? ? ? ? 2 2 2 2 m a x s 0 s s q s d δ 0 e u R i u L i L i L i ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ≤ (8)

　　2.2 最優電流工作點的計算

　　在弱磁區中，VFRM 有 3 個電流分量需要控制。為了計算最優的電流參考值，采用拉格朗日乘子法計算 id、iq 和 i0。為求轉矩的極大值，根據轉矩公式，設目標函數為 f i i i i L q 0 q 0 ? , ? ? (9)使用電壓和電流限制方程作為約束條件。得到拉格朗日函數 FL 為? ? 2 2 L q 0 1 2 s d e 2 d q 2 2 0 s s q 2 2 i i F i i R i L i ? ? ? i i ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ? 2 2 s d e s q e δ 0 m a x s 0 R i L i L i u R i ? ??? ? ? ? ??(10)式中，?1 和?2 為拉格朗日乘子。

　　對拉格朗日函數中變量 id、iq 和 i0 以及?1、?2 求偏微分可得函數 N 0 f i ( ) 中 id 和 iq 可由式(13)和式(14)表示。對于 i0，可以通過牛頓拉夫遜算法，對 N 0 f i ( ) = 0 迭代求解得出。函數 N 0 f i ( ) 的導數為 N 0 f i ? ( ) 。每次迭代后的根為 i0(k+1)。當相鄰兩次迭代結果的差滿足精度要求時，將完成迭代。迭代過程為? ?? ? N 0 0 0 N 0 ( ) ( 1) ( ) ( ) f i k i k i k f i k ? ? ?? (16)設置初始值為 1，當所需精度為 0.01A 時，可以用多次迭代來完成計算。求得 i0 的給定值后，通過式(13)和式(14)可以求得 id 和 iq 的給定值。

　　dq 平面中的電壓極限圓方程為下方程組。該方程組的根即考慮電阻壓降后弱磁區內的最優 id、iq、i0 值。? ? ? ?? ?? ? ? ? 2 2 s d e s q s q e s d e δ 0 2 m a 2 2 2 2 2 2 δ s 0 d δ s 0 δ s s 0 e s d s 0 s x s 2 2 s 0 d q 2 2 0 0 2 2 2 3 0 3 0 2 2 L L i i L L i L L R i L i R i L i L i u i i u i R i R R i i i i i ? ? ??? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ?(12) id 和 iq 可以用 i0 表示。利用式(12)第二個等式可以得到 id 的表達式為? ? 2 2 2 δ s e 0 s d 2 2 2 2 2 δ 0 e s 0 e s 0 s s 2 2 2 3 L L i i i L i L i R i R u ?? ???? ? ? (13)利用式(12)第三個等式和式(13)可以得到 iq 為 電壓極限圓的中心坐標為 δ s 0 δ s 0 e 2 2 2 2 s s s s 2 2 e e , L R i L L i R R L L ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? (18)忽略電阻壓降時，將 Rs 設置為 0。電壓極限圓心的坐標為 δ 0 s , 0 L i L ? ?? ? ?? ? (19)圖 2 為忽略 Rs 時，電壓和電流極限圓隨轉速升高的變化情況。從式(19)可以看出，電壓極限圓的圓心始終在 d 軸上。隨著速度的增加，電壓極限圓縮小。為了保持在弱磁區輸出最大功率，根據式(12)，i0 將隨速度增加。并且，電壓極限圓的圓心向 d 軸的負方向移動。此外，根據式(6)，隨著 i0 的增加，電流極限圓的半徑減小。電壓極限圓與電流極限圓的交點即為當前工作點。

　　圖 3 為考慮電阻壓降時電壓和電流的極限圓隨速度的增加而變化的示意圖。電機從零開始加速，負載增加到定子電流達到最大值。在此過程中，電機在 A 點處工作。當轉速為基速時，電機運行到達恒定轉矩區域的邊界。如果轉速繼續上升，需要進行弱磁控制。在弱磁區，工作點將移動到 dq 電流平面的第二象限，其軌跡為 AB，如圖 3 所示。與 A 和 B 所在電壓圓對應的圓心分別為 O1 和 O3。

　　圖 4 為當轉速達到恒定轉矩區域的邊界時考慮和忽略電阻壓降的工作點分析。圖 4 中的電壓圓 1 和 2 分別是忽略和考慮電阻壓降的情況。A 點是實際工作點。如果忽略電阻壓降，根據電壓圓 1，電機尚在恒轉矩區域，而根據電壓圓 2，則達到了逆變器的最大輸出電壓。如果轉速繼續提高，在忽略電阻壓降時，由于控制系統認為電機仍在恒轉矩區，所以仍將根據恒定轉矩區域的規則計算參考電流。由于電壓和電流的限制，電機電流將無法跟蹤該參考電流值，在這種情況下，電流調節器會飽和，從而導致電機失去控制。為了使電機穩定運行，工作點保持在電壓極限圓內，必須減小負載。這樣，輸出功率將降低。相對應的，考慮電阻壓降后，可以準確獲取電機工作所需的電流參考值。

　　2.3 最大電壓計算

　　根據前文分析可知，VFRM 的定子電壓獲取對判斷是否進入弱磁區和參考電流的計算非常重要。然而，定子電壓的峰值與基波分量的幅值不一致，這給電壓約束計算帶來了困難。因此本節中對最大電壓進行分析。

　　根據電壓方程式(2)可知，VFRM 的 dq 軸電壓中含有 3 次諧波變化分量。這部分 3 次諧波變化分量是相電壓的 2 次諧波在 dq 平面中的映射[27]。在轉速 400r/min、iq 為 2A、id=0A 的條件下，根據式(2)計算出 dq 軸電壓的波形后通過 Park 反變換，可以得到相電壓的波形，如圖 5 所示[34]。為了抑制相電流中的諧波，本文使用了指定諧波次數抑制法[31]。在指定諧波次數抑制法中，需要抑制的諧波電流都有對應的諧波電流環。

　　以 2 次諧波電流為例。為了抑制 2 次諧波電流，構建了 2 次諧波電流環，并將參考值設為零。2 次諧波的旋轉坐標變換矩陣為

　　穩態下，特定次數的諧波在相應次數下的 dq 分量是恒定值，但是其他次數諧波在本次數 dq 坐標系中的映射是交流分量。例如，基波在 2 次 dq 坐標系下表現為 3 次諧波，其變換矩陣為 e e dq2 dq1 e e c o s (3 ) s in (3 ) 0 s in (3 ) c o s (3 ) 0 0 0 1 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? C (21)因此，可以通過截止頻率低于基頻的低通濾波器來提取對應次數的 dq 分量。2 次諧波電流環如圖 6 所示。通過 2 次 dq 變換和低通濾波，可以獲得 2 次諧波的 dq 軸分量。將調制后的二階?? 軸電壓疊加在基頻上，可以達到抑制 2 次諧波電流的目的。圖 6 中，帶“*”的變量代表該變量是給定值。本文后面“*”的含義也相同。

　　通過諧波電流環，一方面對反電動勢中的諧波進行補償，抑制了諧波電流;另一方面，將相電壓分為了基波分量和 2 次諧波分量。對于弱磁控制，需要基波的電壓幅值，這樣，基波相電壓的 dq 軸分量被分離出，更容易求取定子電壓的基波分量。

　　從圖 5a 可知，公式計算出的相電壓波形與真實值比較接近。因此可以推測相電壓峰值為 2 2 s d q 0 u u u u ? ? ? (22)式中，ud 和 uq 采用式(2)進行計算。

　　最大電壓 umax=36V 情況下，根據式(22)計算出的定子電壓在轉速 0～2 000r/min 范圍內峰值的最大值約為 62V。考慮 5%的電壓裕量后，65V 的直流 母 線 電 壓 可 以 使 電 機 的 最 大 基 波 定 子 電 壓 為 36V。

　　整個弱磁控制系統框圖如圖 7 所示。參考電流由 MTPA 和弱磁模塊計算。共直流母線的雙逆變器用來為零序電流提供回路。電壓補償模塊用于對反電動勢中特定次數的諧波進行補償。另外，通過使用有限元法生成的電感表來考慮不同工作條件下的電感變化[35]。如圖 8 所示為電感隨電流變化的有限元仿真結果。電流的變化范圍是 id(?1.2～0A)，iq (1～2A)，i0 為 1A 和 2A。可見，電感隨電流變化的范圍很小，可以認為電機沒有進入飽和區。

　　3 實驗分析

　　為了驗證考慮電阻壓降的弱磁控制方法，搭建了基于 6/4 VFRM 的雙逆變器控制系統。表 1 是實驗中使用電機的參數。實驗平臺如圖 9 所示。實驗中使用的控制器是 dSPACE;VFRM 由雙逆變器驅動;IGBT 的開關頻率設置為 10kHz;電機的輸出轉矩由奇石樂 4 502A 傳感器測量;本實驗使用的示波器是橫河 DL850W;功率、效率和功率因數等參數的測量采用橫河 WT3000E 功率分析儀。

　　當轉速為 100r/min 時，增加負載轉矩使定子電流達到最大值。然后，增加轉速并記錄電流、速度、轉矩等變量。圖 10 為在穩態下測得的 dq0 軸電流以及 A 相電流的波形。此時的轉速為 1 500r/min，轉矩為 0.32N·m。VFRM 這時處于弱磁區，id 為負值。圖 11 為隨著轉速的增加，測得的 id、iq、i0 的變化。在 0～930r/min 階段，電機處于恒轉矩區，負載轉矩約為 0.41N·m，其中，id=0，iq 和 i0 保持固定比例。在 930～2 000r/min 階段，電機處于弱磁區，負載轉矩隨著速度的增加而減小。當電阻壓降被忽略并且定子電壓被低估時，參考電流將繼續根據恒轉矩區的規則進行計算。但是，由于電壓和電流的限制，電機在轉速提高后會無法跟蹤參考電流。為了使 VFRM 可控，必須降低輸出轉矩。考慮電阻壓降后， VFRM 可以沿著弱磁區的最佳電流軌跡運行。圖 12 為考慮和忽略電阻壓降時的轉矩-轉速曲線。由于忽略了電阻壓降，所以電機在弱磁區中無法跟隨參考電流，這限制了電機在高速時功率的輸出。

　　如圖 13 所示為實驗測得的考慮和忽略電阻壓降時的功率-轉速曲線。采用文中控制后，可變磁通磁阻電機可以準確判斷并進入弱磁區。因此，采用考慮電阻壓降的弱磁控制后，樣機可以在弱磁區內沿著最優電流軌跡運行，并輸出最大功率。而忽略電阻壓降時，對于本實驗中使用的樣機，由于控制系統不能準確判斷其進入弱磁控制的時刻，因此在高速時的輸出功率下降。

　　圖 14 為實驗測得的采用文中方法前后的電機效率。不考慮電阻壓降時，電機在高速時定子電流幅值減小，因此銅耗也減小。在輸入輸出功率均減小的情況下，其效率反而比考慮電阻壓降時的高。但是在其輸出功率減小的情況下，效率高沒有意義。

　　圖 15 為實驗測得的不同轉速下功率因數變化情況。在恒轉矩區中，有功功率中的銅耗較大，因此功率因數在低速區很高。隨著轉速的升高，無功功率上升，銅耗占比減小，功率因數也逐漸減小。在弱磁區中，考慮電阻壓降控制下，由于樣機能沿著最優電流軌跡運行，電流和電壓的有效值均不變，因此視在功率不變。在這種情況下，功率因數與有功功率的趨勢有關。電流有效值不變時，銅耗相對變化較小。因此功率因數在弱磁區中與輸出功率的變化趨勢一致，均是先增加后趨于平穩。而在未考慮電阻壓降控制下，高速時電機的輸入輸出功率均減小。

　　圖 16 為在 0～2 000r/min 的過程中轉速、轉矩和電流的變化情況。當給出轉速指令時，為了使電機加速，控制系統會增加 iq 和 i0，以使電機的輸出轉矩迅速增加，達到升速的目的。同時，在速度增加到基速后，電機進入弱磁區。為了削弱反電動勢，id 被調節為負值。在速度達到 2 000r/min 后，電機重新恢復穩定狀態。

　　4 結論

　　本文提出考慮電阻壓降的 VFRM的弱磁控制策略。基于電機的電壓方程和電壓、電流約束，使用拉格朗日乘數法和牛頓拉夫遜法來計算考慮電樞和零序回路電阻壓降的最優參考電流。另外，分析了定子電壓最大值的計算。最后在一臺 6/4 VFRM 上實現了本文的控制策略并驗證了其有效性。實驗結果表明，如果忽略電樞和零序回路上的電阻壓降，則弱磁區中電流參考值的計算會受到影響。在這種情況下，逆變器將會飽和，電機中的電流將不能跟隨給定值。因此，忽略電阻壓降會造成電機在弱磁區的輸出功率下降。而考慮了電樞和零序回路電阻壓降后，VFRM 可以在弱磁區沿著最優電流軌跡穩定運行并保持最大功率輸出。