基于未知輸入觀測(cè)器的多智能體一致性控制

　　摘要: 現(xiàn)有研究成果大多僅考慮隨機(jī)噪聲或未知輸入干擾單一存在的情況, 實(shí)際工程中兩者往往同時(shí)存在. 在此背景下, 本文針對(duì)一類含有未知輸入干擾和隨機(jī)噪聲的非線性多智能體系統(tǒng), 提出了一種一致性控制協(xié)議方法. 首先, 針對(duì)單個(gè)智能體系統(tǒng)設(shè)計(jì)未知輸入觀測(cè)器以消除干擾項(xiàng)對(duì)狀態(tài)估計(jì)的影響. 參考Kalman 濾波器算法來求解狀態(tài)反饋矩陣, 使得輸出殘差信號(hào)的協(xié)方差最小, 從而增強(qiáng)系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)噪聲的魯棒性. 然后, 基于觀測(cè)器的狀態(tài)估計(jì)信息, 設(shè)計(jì)了魯棒一致性控制協(xié)議, 并將其轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式求解問題. 最后, 通過一個(gè)數(shù)值仿真證明了所提方法的正確性和有效性.

　　相國梁; 郭勝輝， 控制理論與應(yīng)用 發(fā)表時(shí)間：2021-08-06

　　關(guān)鍵詞: 未知輸入觀測(cè)器; 隨機(jī)噪聲; 多智能體系統(tǒng); 一致性控制

　　1 引言

　　隨著科技的發(fā)展, 嵌入式計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力和通信能力得到前所未有的提高. 隨之而來的就是分布式或非集中式的設(shè)計(jì)思想的發(fā)展, 在軟件設(shè)計(jì)中, 專家提出分布式計(jì)算、微服務(wù)等架構(gòu). 在硬件設(shè)計(jì)中, 人們?cè)絹碓秸J(rèn)識(shí)到多智能體系統(tǒng)的合作工作模式能夠以更小的代價(jià)完成更復(fù)雜的任務(wù). 在過去的十多年里, 多智能體系統(tǒng)在各類工程系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用, 如無人飛行器或無人水下航行器的協(xié)同控制 [1]、以自然界諸多生物群體為模型的群體或集群的集體行為控制 [2–3]、多智能體系統(tǒng)的編隊(duì)控制 [4]以及分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)和衛(wèi)星集群的姿態(tài)對(duì)準(zhǔn) [5–6] .

　　近年來, 協(xié)同控制成為多智能體領(lǐng)域一個(gè)重要研究方向. 在多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制中, 每個(gè)智能體利用自身的局部信息協(xié)同完成全局任務(wù). 而一致性控制作為多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制的一個(gè)基礎(chǔ)性問題, 已經(jīng)得到了深入研究. 一致性控制問題就是設(shè)計(jì)一致性控制協(xié)議使得所有子系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到某個(gè)同一值, 如文獻(xiàn)[7]在電氣物理系統(tǒng)中利用一致性控制來自適應(yīng)地調(diào)整虛擬阻抗, 來補(bǔ)償不匹配的線路阻抗, 以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的無功功率分配. 文獻(xiàn)[8]在生物實(shí)驗(yàn)中使用血清饑餓法進(jìn)行細(xì)胞周期同步化實(shí)驗(yàn), 并進(jìn)一步研究細(xì)胞在細(xì)胞周期中發(fā)生的事件. 因此一致性控制受到了物理、生物、工程等諸多領(lǐng)域的專家關(guān)注. 文獻(xiàn)[9]利用滾動(dòng)優(yōu)化控制設(shè)計(jì)了一般線性多智能體的控制協(xié)議. 為了減少不必要的計(jì)算壓力, 文獻(xiàn)[10]利用降階控制器實(shí)現(xiàn)對(duì)輸出反饋多智能體的一致性控制. 文獻(xiàn)[11] 考慮了在執(zhí)行器飽和情況下高階多智能體的全局最優(yōu)一致性控制. 文獻(xiàn)[12] 解決一類在切換系統(tǒng)下多代理系統(tǒng)輸出同步性問題. 文獻(xiàn)[13] 通過事件觸發(fā)來實(shí)現(xiàn)多智能體的一致性控制.

　　基于觀測(cè)器的多智能體一致性控制也得到很多的研究與應(yīng)用. 如針對(duì)一類只能在離散非周期和異步時(shí)刻傳輸輸出的非線性系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)者跟隨一致性問題, 文獻(xiàn)[14] 提出了基于連續(xù)-離散時(shí)間的觀測(cè)器和連續(xù)控制律的一致協(xié)議. 文獻(xiàn)[1]使用級(jí)聯(lián)預(yù)測(cè)觀測(cè)器研究具有長輸入延遲的多智能體系統(tǒng)的分布式自適應(yīng)一致性問題, 并且在其實(shí)驗(yàn)室的無人機(jī)編隊(duì)飛行中得到應(yīng)用. 文獻(xiàn)[15] 針對(duì)同時(shí)存在擾動(dòng)和有向拓?fù)涞氖軘_動(dòng)多智能體系統(tǒng)的輸出一致性問題上, 采用擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器, 提出一種離散型多智能體優(yōu)化算法. 除此之外, 基于觀測(cè)器的多智能體一致性控制研究還在預(yù)防網(wǎng)絡(luò)攻擊 [16–17]、機(jī)器人設(shè)計(jì) [18]以及故障檢測(cè) [19–20]中得到廣泛應(yīng)用. 然而多數(shù)研究并未考慮隨機(jī) 噪 聲 、 未 知 輸 入 、 非 線 性 等 問 題. 如 文獻(xiàn)[1, 12–13] 并未考慮隨機(jī)噪聲, 文獻(xiàn)[19–20]未考慮非線性問題.

　　復(fù)雜的工業(yè)生產(chǎn)中, 各種不穩(wěn)定性無法避免，導(dǎo)致未知輸入和隨機(jī)噪聲同時(shí)存在, 關(guān)注到很多文獻(xiàn)僅考慮了未知輸入或者隨機(jī)噪聲一種情況, 本文考慮未知輸入和隨機(jī)噪聲同時(shí)存在的情況下實(shí)現(xiàn)多智能體的一致性控制. 本文利用卡爾曼濾波器設(shè)計(jì)觀測(cè)器, 針對(duì)含有隨機(jī)未知輸入信號(hào)的多智能體系統(tǒng)研究一致性控制, 使用LMI 設(shè)計(jì)一致性協(xié)議, 最終實(shí)現(xiàn)多智能體的一致性控制. 本文第2節(jié)引出問題并描述圖論相關(guān)的預(yù)備知識(shí), 第3 節(jié)利用卡爾曼濾波器進(jìn)行未知輸入觀測(cè)器的設(shè)計(jì), 第4節(jié)設(shè)計(jì)一致性控制協(xié)議并且在第5 節(jié)中設(shè)計(jì)一個(gè)仿真驗(yàn)證算法可行性.

　　注 1 本文所用符號(hào)皆為規(guī)范符號(hào), R n表示n維歐氏空間, ei 表示估計(jì)狀態(tài)誤差, 矩陣P > 0表示P是正定的, 矩陣P < 0表示P 是負(fù)定的, 1N表示各元素均為1的N 維向量,IN 表示N維單位矩陣, ⊗ 表示Kronecker積.

　　2 問題描述與預(yù)備知識(shí)

　　定 義 無 向 圖: G = (ν, ς, A), 其中:ν = {1, 2 · · · , N}表示圖中節(jié)點(diǎn)的集合, ς ⊆ ν × ν屬 于 圖 中 邊 的 集 合, A = [aij ]是G 的 權(quán)重 矩 陣,并 且aii = 0; 當(dāng)(i, j) ∈ ε時(shí),aij > 0. 否則aij = 0.Ni = {j : (i, j) ∈ ς}表示節(jié)點(diǎn)的所有相鄰節(jié) 點(diǎn) 的 集 合, 節(jié) 點(diǎn)i 的 度 定 義為Din = diag{Din(1), · · · , Din(N)}, 圖G的拉普拉斯矩陣定義為L = Din − A.

　　引理 1 [21] 對(duì)應(yīng)與無向連通圖G的拉普拉斯矩陣L具有如下的性質(zhì): 1) rank(L) = N − 1; 2) 0 是矩陣L 的一個(gè)特征根, 且1N 為對(duì)應(yīng)的特征向量; 矩陣L的其余特征值均為大于零的正實(shí)數(shù). 根據(jù)引理1, 存在一個(gè)正交矩陣Π, 使得 L = ΠΛΠT , (1) 其中Λ = diag{0, λ2, · · · , λN}, 元素0, λ2, · · · ,λN 對(duì)應(yīng)于拉普拉斯矩陣L的N 個(gè)特征根. 考慮由N個(gè)非線性節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng), 在考慮系統(tǒng)還有噪聲的情況下, 令每個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)模型為 xi(k + 1) = Axi(k) + f(xi(k)) + Bui(k)+ Dεi(k) + ξi(k), yi(k) = Cxi(k) + ηi(k). (2) 其 中xi(k) ∈ R n、ui(k) ∈ R k、yi(k) ∈ R p、εi(k) ∈ R m 分別表示系統(tǒng)狀態(tài)、系統(tǒng)輸入、可測(cè)輸出以及未知干擾輸入, ξi(k),ηi(k)是獨(dú)立的零均值 噪 聲 序 列, 它 們 的 協(xié) 方 差 分 別 為Q和R 矩陣. A、B、C、D為適當(dāng)維數(shù)的矩陣, 其中, B為列滿秩矩陣.

　　假設(shè) 1 非線性函數(shù)f(xi(k))滿足Lipschitz條件, 即存在正常數(shù)γ使得 ∥f(xi(k)) − f(xj (k))∥ ≤ γ ∥xi(k) − xj (k)∥ . (3) 首先考慮由N個(gè)非線性節(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng), 其中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)模型在不考慮系統(tǒng)噪聲的情況下為 xi(k + 1) = Axi(k) + f(xi(k)) + Bui(k) + Dεi(k), yi(k) = Cxi(k). (4) 由上式可得 yi(k + 1) − CAxi(k) − Cf(xi(k))− CBui(k) = CDεi(k). (5) 引理 2 [22] (Schur補(bǔ)定理)對(duì)給定的對(duì)稱矩陣 θ = [ θ11 θ12 θ T 12 θ22] . 以下三個(gè)條件是等價(jià)的: 1) θ < 0; 2) θ11 < 0, θ22 − θ T 12θ −1 11 θ12 < 0; 3) θ22 < 0, θ11 − θ T 12θ −1 22 θ12 < 0.

　　3 未知輸入觀測(cè)器設(shè)計(jì)

　　為了設(shè)計(jì)未知輸入觀測(cè)器, 首先需要消除未知干擾的影響, 在滿足rank(CD) = rank(D) = rd 的條件下, 可以完全消除干擾項(xiàng)并實(shí)現(xiàn)完全重構(gòu). 在此條件下, 存在M, 使得 MCD = Ird . (6) 用M同時(shí)乘以(4)左右兩邊可以得到: M(yi(k + 1) − CAxi(k) − Cf(xi(k))− CBui(k)) = εi(k). (7) 所以, 可以根據(jù)上述式子估計(jì)出未知輸入εi(k)的值 εˆi(k) = M(yi(k + 1) − CAxi(k)− Cf(xi(k)) − CBui(k)). (8) 根據(jù)輸出yi(k + 1), 對(duì)觀測(cè)器進(jìn)行干擾補(bǔ)償, 由此得到未知輸入觀測(cè)器的表達(dá)式為 xˆi(k + 1) = Axˆi(k) + f(ˆxi(k)) + Bui(k)+ DM(yi(k + 1) − CAxˆi(k) − Cf(ˆxi(k))− CBui(k)) + L1(yi(k) − Cxˆi(k)). (9) L1 ∈ R p∗p為配置的反饋矩陣. 由于事先無法知道yi(k + 1)的值, 所以引入新的向量, 令 zi(k) = ˆxi(k) − DMyi(k), (10) T = I − DMC. (11) 將(10), (11)代入(9)中可得 zi(k + 1) = ? xi(k + 1) − DMyi(k + 1) = A ? xi(k)+ f( ? xi(k)) + Bui(k) + DM(yi(k + 1) − CA? xi(k)− Cf( ? xi(k)) − CBui(k)) + L1(yi(k) − C ? xi(k))− DMyi(k + 1) = (T A − L1C)zi(k) + T f( ? xi(k))+ T Bui(k) + (T A − L1C)DMyi(k) + L1yi(k). (12) 所以得到觀測(cè)器方程為 zi(k + 1) = (T A − L1C)zi(k) + T f( ? xi(k))+ T Bui(k) + ((T A − L1C)DM + L1)yi(k), ? xi(k) = zi(k) + DMyi(k). (13) 令F = T A − L1C、G = T B、H = DM, 則觀測(cè)器方程可以改寫為 zi(k + 1) = F zi(k) + T f( ? xi(k)) + Gui(k) + (F H + L1)yi(k), ? xi(k) = zi(k) + Hyi(k).

　　在一般未知輸入觀測(cè)器中, 狀態(tài)反饋矩陣L的選擇只要令系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)即可, 即使系統(tǒng)極點(diǎn)分配在左半平面. 然而這并沒有考慮到系統(tǒng)存在噪聲的情況. 考慮到系統(tǒng)噪聲的影響, 本文通過配置狀態(tài)反饋矩陣L1 來降低噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響.

　　由式(14)可得, ei(k + 1) = xi(k + 1) − ? xi(k + 1) = xi(k + 1) − (zi(k + 1) + Hyi(k + 1)) = (I − HC)xi(k + 1) − Hηi(k + 1)− (F zi(k) + T f( ? xi(k)) + Gui(k) + (F H + L1)yi(k)) = F xi(k) − F(zi(k) + Hyi(k)) − F xi(k)+ FHyi(k) + (I − HC)xi(k + 1) − T f( ? xi(k))− Gui(k) − (FH + L1)yi(k) − Hηi(k + 1) = F ei(k) − L1ηi(k) + (I − HC)ξi(k)+ ((I − HC)A − F − L1C)xi(k) + (I − HC)Dεi(k)+ (I − HC)(f(xi(k)) − f( ? xi(k)))+ ((I − HC)B − G)ui(k) − Hηi(k + 1).

　　設(shè)計(jì)的觀測(cè)器滿足: G = (I − HC)B, D = HCD, F = (I − HC)A − L1C. 所以殘差信號(hào)可以表示為: ei(k + 1) = F ei(k) − Hηi(k + 1) − L1ηi(k)+ (I − HC)ξi(k) + (I − HC)(f(xi(k)) − f( ? xi(k))). (15) 殘差信號(hào)的協(xié)方差可以表示為 pi(k) = ε{(xi(k) − xˆi(k))(xi(k) − xˆi(k))T }. 所以殘差信號(hào)的更新過程為 pi(k + 1) = F pi(k)F T + HRHT + L1RLT 1 + (I − HC)Q(I − HC) T − f( ? xi(k)))T (I − HC) T+ (I − HC)(f(xi(k)) − f( ? xi(k)))(f(xi(k)) ≤ F pi(k)F T + (I − HC)Q(I − HC) T+ γ 2 (I − HC)(xi(k) − ? xi(k))(xi(k) − ? xi(k))T (I − HC) T + HRHT + L1RLT 1 = ti(k + 1). 為了簡化計(jì)算, 令A(yù)1 = A − HCA = T A. 則式子可以重寫為 ti(k + 1) = (A1 − L1C)p(k)(A1 − L1C) T+ (I − HC)Q(I − HC) T + HRHT + L1RLT 1 + γ 2 (I − HC)pi(k)(I − HC) T = A1pi(k)A1 T + (I − HC)Q(I − HC) T + HRHT+ γ 2 (I − HC)pi(k)(I − HC) T − A1p(k)C TL T 1 − L1Cp(k)A1 T + L1(Cpi(k)C T + R)L T 1 . 其中Q和R分別表示高斯白噪聲ξi(k), ηi(k)的協(xié)方 差 矩 陣. 因 為R和Cp(k)C T都 是 正 定 矩 陣, 所以 存 在 矩 陣S使 得SST = Cp(k)C T + R, 令D1 = A1p(k)C T (S T ) −1 .則 ti(k + 1) = A1pi(k)A1 T + (I − HC)Q(I − HC) T+ HRHT + γ 2 (I − HC)pi(k)(I − HC) T+ (L1S − D1)(L1S − D1) T − D1D1 T . 在上式中, 如果L1S − D1 = 0,那ti(k + 1)的值達(dá)到最小, 由此得到 L1 = A1pi(k)C T (Cpi(k)C T + R) −1 . (16) 此時(shí)ti(k + 1)的值最小 ti(k + 1) = A1pi(k)A1 T + (I − HC)Q(I − HC) T+ HRHT + γ 2 (I − HC)pi(k)(I − HC) T − D1D1 T . (17) 將D1D1 T = L1SSTL T 1 = L1Cpi(k)A1 T 帶入(17)得: pi(k + 1) ≤ ti(k + 1) = A1pi(k)A1 T+ (I − HC)Q(I − HC) T + HRHT − L1Cpi(k)A1 T+ γ 2 (I − HC)pi(k)(I − HC) T .

　　由文獻(xiàn)[23]可知上述反饋矩陣構(gòu)造計(jì)算方法與卡爾曼濾波算法相同. 在實(shí)際面對(duì)大量數(shù)據(jù)時(shí), 不僅簡化計(jì)算過程而且降低數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量和計(jì)算量

　　4 基于觀測(cè)器的一致性控制協(xié)議設(shè)計(jì)

　　本文由狀態(tài)觀測(cè)器(14)的估計(jì)信息, 設(shè)計(jì)如下一致性控制協(xié)議 ui(k) = K ∑ j∈Ni aij ( ? xj − ?. xi). (18) 其中K表示控制增益矩陣. 定義同步狀態(tài)誤差 δi(k) = xi(k) − 1 N ∑ N j=1 xj (k) = xi(k) − x(k). (19) 令 δ(k) = (δ1 T (k), . . . ,δN T (k))T , ξi (k) = ξi(k) − 1 N ∑ N j=1 ξj (k), ξ(k) = (ξ1 (k)· · · ξN (k))T , εi(k) = εi(k) − 1 N ∑ N j=1 εj (k), ε(k) = (ε1(k)· · · εN (k))T , σi(k) = f(xi(k)) − 1 N ∑ N j=1 f((xj (k)), σ(k) = (σ1(k), · · · , σN (k))T . 根據(jù)式(2)和式(19)有 δi(k + 1) = Aδi(k) + f(xi(k)) − 1 N ∑ N j=1 f((xj (k))+ BK ∑ j∈Ni aij ( ? xj − ? xi) + Dεi(k) + ξi (k)− 1 N ∑ N j=1 ∑ j∈Ni BKaij ( ? xj − ? xi). (20)

　　由無向拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的對(duì)稱性, 即aij = aji, 得 1 N ∑ N j=1 ∑ j∈Ni BKaij ( ? xj − ? xi) = 0. (21) 同時(shí)可以發(fā)現(xiàn) ∑ j∈Ni aij ( ? xj − ? xi) = ∑ j∈Ni aij ((xj − xi) − (xj − ? xj ) + (xi − ? xi)) = ∑ j∈Ni aij (xj − xi − ej + ei). (22) 將(21)-(22)代入(20)可得 δi(k + 1) = Aδi(k) + f(xi(k))− 1 N ∑ N j=1 f((xj (k)) − BK ∑ j∈Ni aij (δj (k) − δi(k))− BK ∑ j∈Ni aij (ej (k) − ei(k)) + Dεi(k) + ξi (k). (23) 進(jìn)一步可以計(jì)算出 δ(k + 1) = (IN ⊗ A)δ(k) + (IN ⊗ D)ε(k)+ σ(k) − (L ⊗ BK)δ(k) − (L ⊗ BK)e(k) + ξ(k). (24) 下述為本文提出的一個(gè)主要結(jié)論.

　　定理 1 考慮由N個(gè)非線性智能體(2) 所構(gòu)成的連通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng). 對(duì)于給定的拉普拉斯矩陣特征根λi(i = 1, · · · , N), 正常數(shù)γ, τ . 如果存在N維的正定矩陣P2以及適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q2 使得下述線性矩陣不等式成立?????????? ?11 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ?21 ?22 ∗ ∗ ∗ ∗ ?31 ?32 0 ∗ ∗ ∗ ?41 ?42 ?43 ?44 ∗ ∗ ?51 ?52 ?53 ?54 ?55 ∗ ?61 0 ?63 0 0 −P2 ?????????? < 0. (25) 其中 ?11 = A T P2A − P2 − λiA TQ2 − λiQ2 TA + τ γI, ?21 = P2A − λiQ2 − τ I, ?22 = P2, ?31 = −λiQ T 2 A, ?32 = −λiQ T , ?41 = DT P2A − λiDTQ, ?42 = DT P2, ?43 = −λiDTQ2, ?44 = DT P2D, ?51 = P2A − λiQ2, ?52 = P2, ?53 = −λiQ2, ?54 = P2D, ?55 = P2, ?61 = λiQ2, ?63 = λiQ2. 在控制協(xié)議(18)(由P2和Q2可計(jì)算控制增益矩陣K = (BTB) −1BT P −1 2 Q2)，觀測(cè)器(13) 的作用下網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)取得同步一致. 證:選取Lyapunov函數(shù) V (k) = δ T (k)(IN ⊗ P2)δ(k). (26)δ(k)表示同步誤差, P2為正定矩陣. 根據(jù)式(24)得 ?V = V (k + 1) − V (k) = δ T (k + 1)(IN ⊗ P2)δ(k + 1) − δ T (k)(IN ⊗ P2)δ(k) = (IN ⊗ A)δ(k) + σ(k) − (L ⊗ BK)δ(k)+ (IN ⊗ D)ε(k) + ξ(k) T (IN ⊗ P2)(IN ⊗ A)δ(k)− (L ⊗ BK)δ(k) − (L ⊗ BK)e(k) + (IN ⊗ D)ε(k)− (L ⊗ BK)e(k) + ξ(k) − δ T (k)(IN ⊗ P2)δ(k)+ σ(k) = δ T (k)(IN ⊗ (A T P2A − P2))δ(k)+ δ T (k)(IN ⊗ A T P2)σ(k)− δ T (k)(L ⊗ A T P2BK)δ(k)− δ T (k)(L ⊗ A T P2BK)e(k)+ δ T (k)(IN ⊗ A T P2D)ε(k) + δ T (k)(IN ⊗ A T P2)ξ(k)+ σ T (k)(IN ⊗ P2A)δ(k) + σ T (k) T (IN ⊗ P2)σ T (k)− σ T (L ⊗ P2BK)δ(k) − σ T (L ⊗ P2BK)e(k)+ σ T (IN ⊗ P2D)ε(k) + σ T (IN ⊗ P2)ξ(k)− δ T (k)(L ⊗ (BK) T P2A)δ(k)− δ T (k)(L ⊗ (BK) T P2)σ(k)+ δ T (k)(L 2 ⊗ (BK) T P2BK)(⊗)δ(k)+ δ T (k)(L 2 ⊗ (BK) T P2BK)e(k)− δ T (k)(L ⊗ (BK) T P2D)ε(k)− δ T (k)(L ⊗ (BK) T P2)ξ(k)− e T (k)(L 2 ⊗ (BK) T P2A)δ(k)− e T (k)(L ⊗ (BK) T P2)σ(k)+ e T (k)(L ⊗ (BK) T P2BK)δ(k)+ e T (k)(L 2 ⊗ (BK) T P2BK)e(k)− e T (k)(L ⊗ (BK) T P2D)ε(k)− e T (k)(L ⊗ (BK) T P2)ξ(k)+ ε T (k)(IN ⊗ DT P2A)δ(k)+ ε T (k)(IN ⊗ DT P2)σ(k)− ε T (k)(L ⊗ DT P2BK)δ(k)− ε T (k)(L ⊗ DT P2BK)e(k)+ ε T (k)(IN ⊗ DT P2D)ε(k)+ ε T (k)(IN ⊗ DT P2)ξ(k)+ ξ T (k)(IN ⊗ P2A)δ(k) + ξ T (k)(IN ⊗ P2)σ(k)− ξ T (k)(L ⊗ P2BK)δ(k)− ξ T (k)(L ⊗ P2BK)e(k)+ ξ T (k)(IN ⊗ P2D)ε(k) + ξ T (k)(IN ⊗ P2)ξ(k).

　　定義 δ(k) = (δ T 1 (k), · · · , δT N (k))T = (ΠT ⊗ IN )δ(k), σ(k) =(σ T 1 (k), · · · , σT N (k))T = (ΠT ⊗ IN )σ(k), e(k) =(e T 1 (k), · · · , eT N (k))T = (ΠT ⊗ IN )e(k), ε(k) =(ε T 1 (k), · · · , ε T N (k))T = (ΠT ⊗ IN )ε(k), ξ(k) =(ξ T 1 (k), · · · , ξ T N (k))T = (ΠT ⊗ IN )ξ(k). 這里, Π為式(1)中的正交矩陣Π. 根據(jù)假設(shè)1有 δi(k) ( f(xi(k)) − 1 N ∑ N j=1 f((xj (k))) = δi(k)(f(xi(k)) − f(x(k))) ≤γδi(k)(xi(k)) − x(k)) = γδ2 i (k). (28) 所以 ?V ≤ ∑ N i=1 {δi T (k)(A T P2A − P2)δi(k) + δi T (k)A T P2σi(k)− δi T (k)λiA T P2BKδi(k) − δi T (k)λiA T P2BKei(k)+ δi T (k)A T P2Dεi(k) + δi T (k)A T P2ξi(k)+ σi T (k)P2Aδi(k) + σi T (k) T P2σi T (k)− σi T λiP2BKδ(k) − σi T λiP2BKei(k)+ σi T P2Dεi(k) + σi T P2ξi(k)− δi T (k)λi(BK) T P2Aδi(k) − δi T (k)λi(BK) T P2σi(k)+ δi T (k)λiλi(BK) T P2BKδi(k)+ δi T (k)λiλi(BK) T P2BKei(k)− δi T (k)λi(BK) T P2Dεi(k) − δi T (k)λi(BK) T P2ξi(k)− ei T (k)λi(BK) T P2Aδi(k) − ei T (k)iλi(BK) T P2σi(k)+ ei T (k)λiλi(BK) T P2BKδi(k)+ ei T (k)λiλi(BK) T P2BKei(k)− ei T (k)λi(BK) T P2Dεi(k) − ei T (k)λi(BK) T P2ξi(k)+ εi T (k)DT P2Aδi(k) + εi T (k)DT P2σi(k)− εi T (k)λiDT P2BKδi(k) − εi T (k)λiDT P2BKei(k)+ εi T (k)DT P2Dεi(k) + εi T (k)DT P2ξi(k)+ ξi T (k)P2Aδi(k) + ξi T (k)P2σi(k)− ξi T (k)λiP2BKδi(k) − ξi T (k)λiP2BKei(k)+ ξi T (k)P2Dεi(k) + ξi T (k)P2ξi(k)+ τ (γδi T (k)δi(k) − σi T (k)δi(k)) } = z T Φz. 其中

　　Φ11 = AT P2A − P2 − λiAT P2BK − λi(BK) T P2A +λiλi(BK) T P2BK + τ γI, Φ21 = P2A − λiP2BK − τ I, Φ22 = P2, Φ31 = −λi(BK) T P2A + λiλi(BK) T P2BK, Φ32 = −λi(BK) T P2, Φ33 = λiλi(BK) T P2BK, Φ41 = DT P2A − λiDT P2BK, Φ42 = DT P2, Φ43 = −λiDT P2BK, Φ44 = DT P2D, Φ51 = P2A − λiP2BK, Φ52 = P2, Φ53 = −λiP2BK, Φ54 = P2D, Φ55 = P2. 令Q2 = P2BK, 由 式(25)和 引 理2可知, Φ < 0, 等價(jià)于式(25)<0. 因此多智能體系統(tǒng)狀態(tài)同步誤差漸進(jìn)收斂于零. 故結(jié)論成立. 證畢.

　　5 仿真與分析

　　采用文獻(xiàn)[24]的多智能體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),考慮由4個(gè)系統(tǒng)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng), 其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示.

　　每個(gè)系統(tǒng)各個(gè)系數(shù)矩陣如下: A = [ 0.8774 0.0367 −0.0367 0.9600] , B = [ 0.0187 −0.004] , C = [ 7.100 0 0 −7.100] , D = [ 0.0004 0.0196] . 控 制 輸 入u(k)為 控 制 協(xié) 議(18). 未知 輸 入ε(k) = 0.8 cos(0.2k + 2), 非 線 性輸 入f(x(k)) = [ 0 −0.5(x(1, k))]T ,ξ(k)和η(k)均值 為0,協(xié) 方 差 矩 陣 同為Q = R = [ 0.00004 0 0 0.00004] .γ=0.55,τ=0.1.由 上述 參 數(shù) 求 出P2 = [ 0.0017 0.000 0.000 0.0019] ,Q2 = 10−3 × [ −.1352 0.2400 0.0252 −0.0447] ,由 此 得到K = [−4.2817 7.5960]. 圖2給出多智能體在無隨機(jī)噪聲情況下狀態(tài)變化(Q = R = 0), 控制輸入如圖3所示, 可以看到控制輸入逐漸趨于0, 并且各個(gè)系統(tǒng)最終收斂到一樣的狀態(tài).

　　圖4給出多智能體在隨機(jī)噪聲下狀態(tài)變化情況, 控制輸入如圖5所示. 可以看到,從30步之后, 控制輸入逐漸趨于0, 各個(gè)系統(tǒng)趨于一致, 多智能體實(shí)現(xiàn)一致性控制.

　　圖6給出文獻(xiàn)[24]的方法中多智能體在沒有隨機(jī)噪聲情況下狀態(tài)變化情況, 控制輸入如圖7所示, 對(duì)比圖2和圖6、圖3和圖7 可以發(fā)現(xiàn)文獻(xiàn)[24]和本文的方法都可以使多智能體各個(gè)系統(tǒng)趨于一致, 最終實(shí)現(xiàn)一致性控制. 但是圖3的控制輸入明顯比圖7光滑, 體現(xiàn)了本文方法的優(yōu)勢(shì). 此外, 圖8和圖9給出文獻(xiàn)[24] 在含有隨機(jī)噪聲的情況下的結(jié)果. 可以看出, 在含有隨機(jī)噪聲的情況下, 本文方法得到的結(jié)果明顯較好.

　　6 結(jié)論

　　實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中, 儀器的精密度會(huì)因磨損而老化, 發(fā)生不可知的變化, 從而產(chǎn)生未知輸入. 配件的老化同樣會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)噪聲的產(chǎn)生. 文獻(xiàn)[25] 便是對(duì)此類問題的研究. 多數(shù)論文僅針對(duì)一個(gè)問題來進(jìn)行分析解決, 考慮實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中未知輸入與隨機(jī)噪聲可能會(huì)同時(shí)存在的情況下, 本文通過數(shù)學(xué)推理證明將卡爾曼濾波器和未知輸入系統(tǒng)結(jié)合所設(shè)計(jì)觀測(cè)器能更好的抑制噪聲. 并且將其設(shè)計(jì)成多智能體的觀測(cè)器. 然后針對(duì)對(duì)非線性多智能體系統(tǒng), 提出了一種基于觀測(cè)器的一致性控制協(xié)議設(shè)計(jì)方法. 通過LMI求解增益矩陣, 在有未知輸入與隨機(jī)噪聲的干擾下實(shí)現(xiàn)多智能體的一致性控制. 仿真結(jié)果表明, 在面對(duì)同時(shí)含有隨機(jī)噪聲與未知輸入的多智能體系統(tǒng)中, 本文的方法效果顯著, 能夠進(jìn)行很好的多智能體一致性控制. 未來將研究能否在擴(kuò)展卡爾曼濾波器中以數(shù)據(jù)融合的方式解決帶有隨機(jī)噪聲與未知輸入的多智能體系統(tǒng)一致性控制問題以及如文獻(xiàn)[26]所述通過一致性控制來進(jìn)行多智能體的故障檢測(cè).