基于保結(jié)構(gòu)方法的航天器中微電子器件布局優(yōu)化

　　摘要 航天器中的精密微電子器件布局影響著航天器局部振動特性，反過來，航天器的局部振動影響著精密微電子器件穩(wěn)定性和精度.基于此，本文對航天器中微電子器件的布局進行了優(yōu)化，以降低結(jié)構(gòu)局部振動對微電子器件的影響。在每一步優(yōu)化迭代過程中，微電子器件固定在一薄板上，薄板通過螺釘固接在航天器結(jié)構(gòu)本體上，使用關(guān)注系統(tǒng)局部幾何性質(zhì)的保結(jié)構(gòu)分析方法分析該薄板結(jié)構(gòu)的局部振動特性。本文的優(yōu)化方法和優(yōu)化結(jié)果為航天器中精密微電子器件的布局設(shè)計提供參考。

　　本文源自蔣睿嵩; 徐萌波; 胡偉鵬， 動力學與控制學報 發(fā)表時間：2021-05-06 09:31 《動力學與控制學報》雜志，于2003年經(jīng)國家新聞出版總署批準正式創(chuàng)刊，CN:43-1409/O3，本刊在國內(nèi)外有廣泛的覆蓋面，題材新穎，信息量大、時效性強的特點，其中主要欄目有：能夠反映學科水平的理論、實驗和應用研究論文、并適量刊登綜述性專題論文等。

　　關(guān)鍵詞 保結(jié)構(gòu)， 布局優(yōu)化， 微電子器件， 廣義多辛

　　引言

　　航天器中的精密電子元器件容易受到航天器工作過程中的過大慣性力作用而影響其工作性能。特別是航天器的局部振動特性，如：共振等，甚至會造成特定位置的電子元器件失效，導致航天任務失敗。因此，航天器中的電子元器件往往會被集中布局在航天器某一局部空間(如圖 1)[1]。

　　已有研究表明[1, 2]，航天器中電子元器件的不同布局位置在一定程度上影響著航天器局部動力學特性，因此，航天器中的電子元器件布局優(yōu)化問題是航天器設(shè)計的重要內(nèi)容之一。

　　在布局優(yōu)化方面，Liu 等人[1]將電子元器件的布局優(yōu)化簡化為一個 NP 問題，為本文發(fā)展微電子器件保結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法提供了重要借鑒。陶鴻飛和崔升 [3]通過對壓電梁、板結(jié)構(gòu)振動主動控制進行了分析，實現(xiàn)了壓電執(zhí)行器粘附于懸臂梁上的最佳布局。Jia 等人[4]考慮土體與結(jié)構(gòu)的相互作用，利用非連續(xù)布局優(yōu)化(discontinuity layout optimization，簡稱DLO)方法實現(xiàn)了塊狀結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析。Nanayakkara 等人[5]針對張拉結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題，給出了一種簡單 的 布局優(yōu)化 數(shù)值方法 。 Ambrozkiewicz 和 Kriegesmann[6]針對機械部件及關(guān)節(jié)設(shè)計問題，發(fā)展了能夠同時實現(xiàn)結(jié)構(gòu)拓撲和布局優(yōu)化的數(shù)值方法。

　　上述布局優(yōu)化方法雖然解決了部分工程問題中的布局優(yōu)化難題，但是，對于航天器中的電子元器件的布局優(yōu)化問題，上述布局優(yōu)化方法并不適用，原因是航天器中電子元器件的布局優(yōu)化的目標是使得電子元器件布置位置的振動特性滿足電子元器件工作條件的要求，關(guān)注的是航天器局部振動特性。無限維動力學系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)分析方法[7-12]的優(yōu)勢正是能夠很好地重現(xiàn)動力學系統(tǒng)局部動力學行為，為航天器中的電子元器件布局優(yōu)化提供了新的途徑。無限維系統(tǒng)的保結(jié)構(gòu)分析方法源于馮康先生針對有限維系統(tǒng)建立的辛幾何算法[13]和 Bridges 等人針對無限維 Hamilton 系統(tǒng)建立的多辛算法[14, 15]，已被廣泛應用于航天動力學問題分析過程中。

　　本文將針對航天器中微電子器件的布局優(yōu)化問題，通過建立微電子器件與柔性支撐薄板耦合動力學模型，發(fā)展耦合動力學模型的保結(jié)構(gòu)分析方法，實現(xiàn)該耦合動力學問題的保結(jié)構(gòu)分析，在此基礎(chǔ)上，對電子元器件的布局進行優(yōu)化，為航天器局部結(jié)構(gòu)設(shè)計提供參考。

　　1 微電子器件與柔性薄板耦合動力學模型

　　本節(jié)考慮若干個微電子器件粘接在柔性薄板上(如圖 2)，在計入微電子器件質(zhì)量、忽略微電子器件尺寸假設(shè)條件下建立其動力學控制方程。

　　如圖 2，假定微電子器件尺寸遠小于圓形柔性薄板的平面尺寸，則微電子器件的尺寸可以忽略不計，其對結(jié)構(gòu)的作用簡化為質(zhì)點，即體現(xiàn)在薄板面密度參數(shù)?( , ) x y 中。柔性薄板通過 8 個螺栓與航天器連接，忽略螺栓與航天器連接間隙，航天器結(jié)構(gòu)通過 8 個螺栓傳遞載荷至薄板，引起薄板振動。

　　參考薄板理論[16]，薄板應變能表述為： 1 2 2 2 2 2 2 2 {( ) 2(1 )[ ( ) ]}d 2 U D u u u u u xx yy p xx yy xy ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) 其 中 ， u u t x y = ( , , ) 是薄板面 外撓度 ， 2 2 2 ? ? ? ? {( , ) } x y x y R ， 3 2 12 1( ) D E p ? h ??為薄板抗彎剛度， E 為薄板材料的彈性模量，? p 為薄板材料的泊松比，h 為薄板厚度，R 為圓形薄板的半徑。薄板面外振動動能為： 1 2 ( , ) d 2 T x y u ? t ?? ? ? ? (2)其中?( , ) x y 為薄板在 ( , ) x y 處的面密度。

　　由變性能和面外振動動能，得到薄板振動的拉格朗日函數(shù)： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( , ) d 2 1 {( ) 2(1 )[ ( ) ]}d 2 t xx yy p xx yy xy L x y u D u u u u u ????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? (3)

　　考慮薄板材料線性阻尼 c 及航天器結(jié)構(gòu)通過螺栓 傳 遞 到 薄 板 上 的 沖 擊 載 荷 F F t x y = ( , , ) ( 1,2, ,8) ? ? ? ? ? ? ? ? ，采用 Hamilton 變分原理，即可推導得到薄板動力學控制方程： 8 1 ( , ) ( 2 ) tt t xxxx xxyy yyyy x y u c u D u u u F????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (4) 需要說明的是，上述模型是在線彈性范圍內(nèi)建立的，考慮薄板柔性主要是因為薄板尺寸較大。

　　2 耦合動力學模型的保結(jié)構(gòu)分析方法

　　通過引入正交變量： , , , ( ) , , t x x x y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? u u w w q u v ? ? ? ? , ( ) y y ? ? ? ? ? v p ? ? ?， 并 定 義 狀 態(tài) 向 量 ： T z ? ( , , , , , , , ) u w q v p ? ? ? ，薄板振動方程(4)可以寫成如下多辛對稱形式[17]：

　　M z K z K z z ? ? ? ? ? ? ? t x y z S (5) 上式是一個廣義多辛 形 式 [7] ， 其中， 8 8 1 2 , , ? M K K R ?為反對稱矩陣：

　　哈密爾頓函數(shù)為; 2 8 2 2 1 ( ) ( , ) 2 ( ) ( ) 2+ S x y D wq pv D u F??? ? ??? ??? ? ? ? ?? ? ? z (6) 對圓形薄板面域： 2 2 2 ? ? ? ? {( , ) } x y x y R 采用空間步長?x 和?y 進行均勻剖分，并對系統(tǒng)(5)采用時間步長?t 進行 Preissmann 離散，消去中間變量，得到與 Preissmann 格式等價的保結(jié)構(gòu)差分格式： 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 , , . , , 3 2 1 1 , , , , , 2 4 4 4 , 1, , 1, 4 2 2 2 2 1 2, 1 ( , ) ( 4 6 4 ) 4 ( 5 10 10 5 4 ) ( 2 ) 2 ( j j j j j t i k t i k t i k t i k t i k j j j j j t i k t i k t i k t i k t i k j j j j t i k x i k x i k x i k x y i k i k u u u u u t c u u u u u t D u u u u x D u x y ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ???? ? 2 2 2 2 2 , 1 2, 1 2 8 4 4 4 1 2 4 , 1 , , 1 1 2, 1 2 1 2 ) ( 2 ) ( ) j j j x y i k x y i k j j j j y i k y i k x i k i k u u D u u u F y ??? ? ? ?? ? ?? ??? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? (7) 其 中 ： 1 2, 1 2 , 1, , 1 1, 1 1 ( ),? u u u u ? ? ? ? ? , 1 1 , , , j j j t i k i k i k ? u u u ? ?? ? , 4 , 2, 1, , 1, 2, 4 6 4 j j j j j j x i k i k i k i k i k i k ? u u u u u u ? ? ? ? ? ? ? ? ?等。

　　差分格式(7)中 1 2 1 2, 1 2 ( )j F? i k ?? ?依據(jù)下式確定： 1 2 1 2, 1 2 ( , , ) ( ) 0 ( , , ) j i k F j i k F j i k ???? ?? ? ?? ?? ? ? (8) 其中： {( , , ) ( 1) , ( 1) , ( 1) } j i k j t t j t i x x i x k y y k y ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?需要說明的是，公式(7)中?( , ) i k 的計算依據(jù)下式確定： 0 0 ( , )= + l i k m x y ???? ??? ? ?? ? ?內(nèi)無微電子器件內(nèi)有1個微電子器件 (9) 其中， ? 0 為未粘接微電子器件的柔性薄板的面密度 ， ( 1,2, , ) m l n l ?為 柔 性 薄 板 區(qū) 域 ={( , ) ( 1) , ( 1) } l l ? i k i x x i x k y y k y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?內(nèi)微電子器件的質(zhì)量，( , ) l l x y 為第 l 個微電子器件在圓形薄板上的坐標值。值得注意的是，由于薄板面內(nèi)網(wǎng)格尺寸較小，實際的微電子器件之間由于散熱等要求，可以假定一個網(wǎng)格內(nèi)至多能粘接一個微電子器件，這一假定將會具體體現(xiàn)在優(yōu)化問題建模過程中。

　　3 微電子器件布局優(yōu)化模型及數(shù)值算例

　　考慮 n 個微電子器件粘接在同時受 8 個沖擊載荷作用的柔性薄板上的情形，以 n 個微電子器件粘結(jié)處薄板振動最大加速度的加權(quán)平均值最小為優(yōu)化目標，建立如下微電子器件布局優(yōu)化問題：

　　min max{ ( , , )} . . ( ) ( ) ( , 1,2, , ) n l tt l l l l m l m w u j t x y s t x x y y x y l m n ?? ?? ? ? ? ? ? ??? (10) 上式中， wl 為第 l 個微電子器件的權(quán)重(描述該電子器件對精度和穩(wěn)定性要求)， ( , , ) tt l l ? ? u j t x y 為第 l 個微電子器件粘結(jié)處薄板在 j t ?時刻的面外振動加速度，該加速度值有前述建立的保結(jié)構(gòu)分析方法得到。

　　由于本文考慮的微電子器件質(zhì)量較小，對薄板面外振動影響只存在于微電子器件粘結(jié)點附近的局部區(qū)域，因此，參考已有的優(yōu)化理論及方法[18, 19]，本文采用的布局優(yōu)化算法主要包括如下兩個步驟：

　?、?采用保結(jié)構(gòu)分析方法模擬未布置微電子器件柔性薄板面外振動，找到振動加速度較小的 n 個網(wǎng)格點作為 n 個微電子器件布置的初始位置(共 n! 種情況)，取其中 1 max{ ( , , )} n l tt l l l w u j t x y ?? ? ?最小的情況確定為微電子器件布置的初始位置組合;

　　② 將每個微電子器件粘結(jié)位置在其初始位置附近攝動，攝動范圍設(shè)定為 2 2 1/2 2( ) ? ? ? x y (該攝動范圍是通過后續(xù)算例中試算得到的)，重新模擬薄板振動，計算微電子器件加速度最大值的加權(quán)平均值 * 1 max{ ( , , )} n l tt l l l a w u j t x y ?? ? ? ?，直至兩步迭代得到的 * a 相對誤差小于 -6 1 10 ?時結(jié)束優(yōu)化迭代過程，得到最終的微電子器件最優(yōu)化布局位置，完成布局優(yōu)化過程。

　　在數(shù)值算例中，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及材料參數(shù)假定為： 9 0.05, 0.5m, 10 Pa, 0.37 2.914 p c R E ? ? ? ? ? ? ， h ? 0.002m , 2 0 ? ? ? 1kg m , 100N F? 。網(wǎng)格剖分步長及時間步長分別取為：? ? ? ? x y 0.002m, ? ?t 0.001s。

　　假定每個微電子器件質(zhì)量和權(quán)重都相等， 0.01 1 kg, ( 1,2, , ) m w l n l l n n ? ? ? ，則優(yōu)化算法第 ①步中涉及到的 n! 種布局組合情況退化為一種情形。考慮 n ? 2,3,4 三種較為簡單的情況，對微電子器件布置位置進行優(yōu)化。

　　圖 3 給出了上述三種情況下，微電子器件布局優(yōu)化過程中微電子器件加速度最大值的加權(quán)平均值 * 1 max{ ( , , )} n l tt l l l a w u j t x y ?? ? ? ?隨著迭代次數(shù) N 的演化過程(在優(yōu)化程序中設(shè)定迭代次數(shù)為 200 而不以 * a 相對誤差為迭代終止條件)。

　　從圖 3 可以看出，微電子器件個數(shù)越少，布局優(yōu)化需要的迭代次數(shù)也越少。以 * a 相對誤差小于 -6 1 10 ?為迭代終止條件時，當 n ? 2 時，需要的迭代次數(shù)為 106;當 n ? 3 時，需要的迭代次數(shù)為 138;當 n ? 4 時，需要的迭代次數(shù)為 165，迭代終止時，各種情形下各微電子器件位置坐標見表 1(注：由于結(jié)構(gòu)的對稱性，微電子器件布局優(yōu)化結(jié)果并非唯一，表中只是給出了其中的一種優(yōu)化結(jié)果)。

　　4 結(jié)論與討論

　　微電子器件在航天器中的布局與航天器局部動力學行為息息相關(guān)，對微電子器件的布局進行優(yōu)化不僅有利于航天器局部減振，也有利于保證微電子器件的工作性能。本文正是基于以上背景，建立了粘結(jié)有若干個微電子器件的柔性薄板在沖擊荷載序列作用下的振動方程，基于廣義多辛理論發(fā)展了該柔性薄板振動問題的保結(jié)構(gòu)分析方法對該薄板振動問題進行模擬，基于模擬結(jié)果，以微電子器件加速度最大值的加權(quán)平均值最小為優(yōu)化目標對微電子器件的布局位置進行優(yōu)化，得到了滿足約束條件的布局優(yōu)化結(jié)果，為航天器中的微電子器件的布局優(yōu)化設(shè)計提供了新的途徑。

　　需要說明的是，為方便后續(xù)的動力學分析和優(yōu)化設(shè)計，本文在薄板振動問題的動力學建模過程中，忽略了薄板厚度、微電子器件尺寸等因素，在布局優(yōu)化設(shè)計過程中，不區(qū)分微電子器件的質(zhì)量差別和權(quán)重差別，并僅讓微電子器件布置位置在初始位置附近的一個很小范圍攝動，這些簡化雖然能夠加快優(yōu)化收斂速度，但是不能從理論上證明布局優(yōu)化結(jié)果的全局最優(yōu)性。