大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課最早出現(xiàn)在美國(guó)的一些大學(xué)，被稱為“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”[1]，目的讓學(xué)生使用計(jì)算機(jī)做實(shí)驗(yàn)，用實(shí)驗(yàn)的方法學(xué)習(xí)、研究和應(yīng)用數(shù)學(xué)。1995年，我國(guó)高等學(xué)校工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)在“關(guān)于工科數(shù)學(xué)系列課程教學(xué)改革的建議”中提出，把開設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課作為加強(qiáng)高校工科數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。

自此，國(guó)內(nèi)很多高校相繼開設(shè)了“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程，它強(qiáng)調(diào)以學(xué)生動(dòng)手為主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，在實(shí)驗(yàn)探索中學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和創(chuàng)造性。然而，合適的實(shí)驗(yàn)設(shè)置是非常關(guān)鍵的，本文結(jié)合作者多年的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)實(shí)踐和科研興趣，探討將行人流數(shù)值模擬引入到高校數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)中。一方面，行人流問(wèn)題研究具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，和學(xué)生的生活密切相關(guān)。因此，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課設(shè)置這樣的實(shí)驗(yàn)研究?jī)?nèi)容，一定能吸引學(xué)生的研究興趣，激發(fā)他們的實(shí)驗(yàn)熱情。另一方面，建模和模擬的方法并不復(fù)雜，學(xué)生能較容易的利用計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究并能將過(guò)程可視化。

1、行人流數(shù)值模擬

行人流研究是近些年的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，許多學(xué)者對(duì)此開展了實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)、建模模擬和理論分析研究[2]。

格子氣模型是研究行人流的一類常用的離散模型，它實(shí)際上是擴(kuò)展的元胞自動(dòng)機(jī)模型，方法簡(jiǎn)單，但能模擬出很多行人流典型的復(fù)雜動(dòng)態(tài)特性，把這種方法引入到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)中，既不會(huì)增加學(xué)生實(shí)驗(yàn)的困難，又能讓學(xué)生模擬探究行人流這個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

下面簡(jiǎn)要介紹下用于模擬行人流的格子氣模型。把通道劃分為一系列格子，每個(gè)格點(diǎn)要么為空，要么被一個(gè)行人占據(jù)。處在格點(diǎn)上的行人根據(jù)周圍鄰居格點(diǎn)的情況選擇下一時(shí)刻的移動(dòng)方向，這里行人總的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)是向右的，不考慮后退，Pt，y、Pt，-y、Pt，x分別是行人向左側(cè)、右側(cè)、前方移動(dòng)的概率，它們的定義是和文獻(xiàn)[3]中定義的一樣。

按照上述的模型規(guī)則，采用周期性邊界條件和并行更新規(guī)則進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬，我們可以得到流量-密度圖（基本圖）。圖2是在不同參數(shù)D值下的基本圖，這里D是格子氣模型引入的一個(gè)重要參數(shù)，它表征行人向前運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)強(qiáng)度。從圖2可以看到，系統(tǒng)流量隨密度先增加后減小，這對(duì)應(yīng)的是從自由流狀態(tài)逐漸變?yōu)閾頂D流狀態(tài)，隨著D的增大，系統(tǒng)的流率在增大，并且曲線的右支由凹變凸，這實(shí)際上體現(xiàn)了不同文化背景下的行人流基本圖性質(zhì)會(huì)不同，通過(guò)這個(gè)現(xiàn)象也可以讓學(xué)生具體感受函數(shù)的凹凸性及實(shí)際應(yīng)用。

圖3是系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的行人位置分布圖。這實(shí)際上就是把模擬過(guò)程進(jìn)行了可視化，在實(shí)驗(yàn)時(shí)，學(xué)生還可以把這個(gè)過(guò)程做成動(dòng)畫，實(shí)時(shí)的觀察行人的行走過(guò)程。

在實(shí)驗(yàn)課教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，還可以發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性，在這個(gè)模型基礎(chǔ)上考慮行人的一些行走習(xí)慣，如期望效應(yīng)、偏右行走習(xí)慣等，還可以進(jìn)行雙向行人流的數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)等。

2、結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了模擬行人流的格子氣方法，分析了將這種模擬實(shí)驗(yàn)研究引入到高校數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)的可行性和有效性。這是把科研前沿和實(shí)踐教學(xué)有機(jī)結(jié)合的一個(gè)有益探索和嘗試。