一、數(shù)學方法及猜想思維方法

(一)數(shù)學方法

數(shù)學方法，有時又稱“數(shù)學思想方法”和“數(shù)學思維方法”，所表達的是指在學習和研究數(shù)學的過程中所使用的思維方法。張奠宙先生在其《數(shù)學方法論稿》中，提出了數(shù)學思想方法的四個層次：…

第一，基本的和重大的數(shù)學思想方法，如模型化方法、微積分方法、概率統(tǒng)計方法等，主要是可以應用這些方法來研究生活世界的某一領域的問題。數(shù)學模型方法主要處理實踐與認識的關系，基于實踐的基礎之上形成的一種數(shù)學認識；數(shù)理邏輯處理原岡與結果的關系問題；幾何方法處理時問與空問的問題‘微積分處理運動與靜止的關系問題等。

第二，與一般科學方法相應的數(shù)學方法，如類比、分析綜合、歸納演繹等。

第三，數(shù)學學科特有的方法，如數(shù)學等價、數(shù)學表示、公理化、數(shù)形轉換等。

第四，中學數(shù)學中的解題技巧，如形式化原則、簡單性原則、等價交換原則、映射反映原則等。

從這四個層次看，我國的數(shù)學教學實踐中，最多達到了第四層，就是在教學過程中，教給學生一些解題的方法與技巧，而其他三類思想方法很少涉及，而這砦卻恰恰是形成數(shù)學的學科意識和能力，促進數(shù)學學科本身的發(fā)展與應用的重要的方法，但在我們的數(shù)學教學實踐中忽視了。我們的學生只知道做題，只知道做別人給出的題，而不會自己提出問題，即使哪怕僅僅只是一個猜測性的假設，不會應用所學數(shù)學知識解決實踐中的問題。從這點來看，我國中小學生的數(shù)學意識和數(shù)學思維水平實際上是很落后的。

(二)猜想思維方法

猜想是眾多數(shù)學思維方法中的一種，具有數(shù)學思維的特性。而“所謂數(shù)學思維，就是以數(shù)學問題為載體，通過發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的形式，達到對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的本質的一般性的認識的思維過程”【2J。在這一定義中，非常強調數(shù)學問題的重要性。事實上，正是由于有了問題，于是才有了猜想的必要性。而又由于問題難以直接解決，于是猜想變成了解決問題的第一步。這既表現(xiàn)了數(shù)學思維的發(fā)展，又為后續(xù)的數(shù)學思維活動提供了動力和規(guī)劃了方向。

但數(shù)學猜想并不是天馬行空地亂猜，“數(shù)學猜想是依據(jù)某些數(shù)學知識和數(shù)學事實，對未知量及其關系作出的似真判斷。”【3o在形成數(shù)學猜想的過程中，需要依據(jù)長期積累的數(shù)學知識和數(shù)學事實，在綜合運用各種形象思維與邏輯思維方法的前提下形成，表現(xiàn)出深刻的想象力和洞察力。

猜想是直覺思維的結果。“直覺思維是指不受同定的邏輯規(guī)則束縛，直接領悟事物本質的一種思維方式。”Hj這種本質大體上包括數(shù)學中可能隱含的整體性、次序性、和諧性特征。直覺思維的一個主要特征是能夠越過邏輯推理的束縛而直接作出某種預見和判斷。在直覺思維中，人們以已有的知識為根據(jù)，以對某一問題的長期深入的思考為基礎，憑直覺對研究的問題提出某種合理的猜測，往往表現(xiàn)為突然的認識與領悟。

(三)猜想思維方法的重要性

猜想思維方法是數(shù)學學科領域乃至自然科學領域一種承要的思維方法，可以說，沒有猜想，就沒有數(shù)學和自然科學的發(fā)展和突破。牛頓有一句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”【53當代著名數(shù)學家波利啞也非常重視猜想在數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程中的作用。他指出：“要成為一個好的數(shù)學家，必須首先是一個好的猜想家。”【6J“數(shù)學的創(chuàng)造過程是與任何其他知識的創(chuàng)造過程一樣的，在證明一個數(shù)學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得猜測證明的思路，只要數(shù)學的學習過程能反映出數(shù)學的發(fā)明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當?shù)奈恢谩?rdquo;【7o因此，猜想在數(shù)學學習和研究過程中構成了邏輯分析的前提和基礎，猜想為邏輯分析活動提供了動力并規(guī)劃了方向，成為邏輯分析得以開展的基礎。如此下去以實現(xiàn)猜想的證實與證偽。證實，則獲得一個新的定理或理論；證偽，則激勵進入一個新的假設環(huán)節(jié)。數(shù)學就是在這樣一個不斷的證實與證偽的過程中持續(xù)下去。

比如一元二次方程和三次四次方程都能用根式求解，于是人們猜想一般的n次方程都能用根式求解。然而這一猜想是不正確的，為了否定這一猜想，數(shù)學家伽羅左首創(chuàng)“群論”這一新的數(shù)學領域，阿貝爾則以此為基礎證明了五次及五次以上的方程小能用根式求解。數(shù)學就是在這樣猜想與證實或證偽的過程中不斷開拓新的領域。而著名的哥德巴赫猜想則至今激勵著無數(shù)的數(shù)學家和數(shù)學愛好者在數(shù)學的王國里艱難地遨游著。

由此看來，在數(shù)學的發(fā)展和研究領域中最重要的不是證明，而是猜想!如果沒有猜想，何來證明?相對于證明而占，猜想永遠具有優(yōu)先性!

能夠提出一個具有深遠影響力的猜想，無論真或者偽，都足以在數(shù)學界取得相當?shù)牡匚?。又有誰會懷疑哥德巴赫在數(shù)學界的地位呢?要有原創(chuàng)，首先必要有猜想。自古概莫能外!

二、猜想思維方法在數(shù)學教學中的培育

“一個優(yōu)秀的數(shù)學家會根據(jù)自己的數(shù)覺，運用科學方法，提出好的數(shù)學問題，設定數(shù)學猜想，以便深入地工作。問題選得好壞，猜想是否合適，是決定數(shù)學創(chuàng)造的關鍵，也是數(shù)學水平高低的分野。”【81而一個在中小學階段只知道做題的學牛長大后是無法期望他具備這種問題意識和猜想意識的。因此，在中小學階段，有意識地培養(yǎng)學生的猜想能力，培養(yǎng)學生以猜想和證明來解釋數(shù)學問題的數(shù)學意識，目前，在我國顯得尤為重要。具體而言，可以通過歸納和類比來形成猜想的意識和能力。

(一)歸納

1．完傘歸納法