本文以機群為研究對象，應(yīng)用蒙特卡羅仿真方法，通過飛機架數(shù)，飛行天數(shù)，日利用率動態(tài)變化驅(qū)動故障樣本、刪失比變化，獲取故障間隔時間的完全刪失數(shù)據(jù)，結(jié)合拉依達準則，確定了平均秩次法的計算錯誤概率。

基于平均秩次法的隨機截尾數(shù)據(jù)參數(shù)估計

1.平均秩次法的基本原理

平均秩次法是一種在隨機截尾條件下經(jīng)驗分布函數(shù)的計算方法，可有效提高累積分布函數(shù)的精度[14]。其基本方法如下：對于一組完全壽命試驗的樣本數(shù)據(jù)，可按其故障時間的大小排成一組順序統(tǒng)計量，其中每一個產(chǎn)品的故障時間（或其壽命值）都有一個順序號，此順序稱為秩次。對于一組隨機截尾壽命試驗的樣本數(shù)據(jù)，由于其中那些尚未故障而中途撤離的產(chǎn)品，什么時間發(fā)生故障無法預(yù)計，因此它們的壽命秩次就不好確定，然而我們卻可以估計出它們所有可能的秩次，再求出其平均秩次，將平均秩次代入近似中位秩公式（公式略）。式中：i為失效秩次；n為樣本量；即可求出經(jīng)驗分布函數(shù)。如果數(shù)據(jù)量多時，估計所有可能的秩次就需要進行大量的排列組合計算，計算十分繁雜。因此統(tǒng)計學(xué)家們經(jīng)過長期的實踐給出一個計算平均秩的增量公式（公式略）。上面兩式中，kA指故障樣品的平均秩次；下標(biāo)k代表故障樣品的順序號；i指所有產(chǎn)品的排列順序號，按故障時間和刪失時間的大小排列。有了平均秩次，然后就可以代入近似中位秩公式計算樣品的累積故障分布函數(shù)，由于篇幅所限，具體的方法及算例在文獻[1]中有詳細的闡述。

2.威布爾分布參數(shù)估計的最小二乘法

威布爾分布是近年來在設(shè)備壽命可靠性分析中使用最廣泛的模型之一。因此，本文在獲得累積分布函數(shù)后，以威布爾為例，利用最小二乘來法來估計其分布參數(shù)。對于威布爾分布的累積分布函數(shù)（略）：其中m為威布爾分布的形狀參數(shù)，η為威布爾分布的尺度參數(shù)。將其左右變形可得（略）：兩邊取2次自然對數(shù)，得到（略）：并且，其平均故障間隔時間（MeanTimeBetweenFailures,MTBF）可由下列公式求得（略）。

完全刪失數(shù)據(jù)仿真流程

在現(xiàn)場數(shù)據(jù)中，部件投入使用的時間不同；觀測者記錄數(shù)據(jù)時除故障時間外還有一些部件統(tǒng)計之時仍在完好地工作；以及中途會因某種原因產(chǎn)品轉(zhuǎn)移它處等，形成了現(xiàn)場數(shù)據(jù)隨機截尾的特性[15-16]。這是一種隨機截尾試驗，即部件進行可靠性試驗時，由于種種原因一些產(chǎn)品中途撤離了試驗，未做到壽終或試驗終止，現(xiàn)場得到的數(shù)據(jù)可用圖1（a）表示（圖略）。圖1（a）中表示n個部件開始試驗的起點不同，至t時刻止有一部分已故障，一部分已刪除，一部分還能工作，將這些不同工作起點的部件全部從時刻0記起，可得到圖（b）（圖略），即為完全刪失數(shù)據(jù)。根據(jù)完全刪失數(shù)據(jù)獲取的實際過程，本文設(shè)計了一種驗證可靠性評估方法有效性的仿真程序。模型的假設(shè)如下：

1、外場運行的飛機不考慮維修時間，在設(shè)計的統(tǒng)計區(qū)間內(nèi)一直運行；2、飛機的日利用率（每天的飛行小時數(shù)）為正態(tài)分布；3、所有飛機均在同一天開始飛行；以往文獻中往往固定的是樣本容量，刪失比來考察方法的有效性，這與實際并不符合。這兩個參數(shù)往往在運行中是動態(tài)變化的。在實際工程應(yīng)用中，統(tǒng)計區(qū)間是可以人為設(shè)定，如統(tǒng)計的飛機架數(shù)，以及時間區(qū)間等。日利用率的均值和標(biāo)準差對各航空公司、飛機而言，變化范圍不大，因此假設(shè)日利用率服從均值為6，方差為1的正態(tài)分布。由于威布爾分布在可靠性分析中應(yīng)用范圍很廣，常用于描述很多工程產(chǎn)品的壽命分析，因此本文采用威布爾分布來產(chǎn)生隨機故障，進而生成隨機樣本量，這種仿真方法能夠更加符合目前飛機故障產(chǎn)生的實際情況。因此本文將仿真模型中各個參數(shù)的選取值如表1所示（表略）：從中篩選出18組具有典型代表的組合，具體如表2所示。對于每個組合，一方面根據(jù)飛機架數(shù)和飛行天數(shù)，隨機生成每架飛機每天的飛行小時數(shù)，即日利用率，進而得到每架飛機的累計飛行小時。另一方面，根據(jù)給定的威布爾分布的兩個參數(shù)，用隨機函數(shù)生成100組故障間隔時間，然后得到故障累計時間表。有了飛行動態(tài)數(shù)據(jù)和故障累計時間數(shù)據(jù)，通過故障累計時間和飛行累計時間的對比并進行0和1標(biāo)記，就可以得到完全刪失數(shù)據(jù)表。有了完全刪失數(shù)據(jù)表，再利用平均秩次法計算出隨機截尾樣本數(shù)據(jù)的經(jīng)驗分布函數(shù)，最后利用最小二乘法估算出所需要的威布爾分布的形狀和尺度參數(shù)，即得到了產(chǎn)品可靠性評定的結(jié)果。整個仿真數(shù)據(jù)獲取的流程圖如圖2所示（圖略）：

數(shù)據(jù)異常處理

對利用平均秩次法和最小二乘法計算出來的威布爾分布兩個參數(shù)進行觀察，發(fā)現(xiàn)其數(shù)據(jù)有很大的偏差。以表2中的第8組數(shù)據(jù)的尺度參數(shù)為例，隨機數(shù)仿真時尺度參數(shù)取的是2000，但實際的計算結(jié)果有很多點大大偏離了2000附近，甚至最大的數(shù)值達到了373萬。這些點顯然是不正確的，是仿真結(jié)果中的異常點，我們必須剔除它。對于數(shù)據(jù)異常點的處理，拉依達準則是一種工程上經(jīng)常使用簡單有效的分析方法。這種方法是以數(shù)據(jù)值是否超過標(biāo)準差x的3倍為判別標(biāo)準。如果以樣本值和均值之差絕對值的x3為置信區(qū)間，其置信水平可達到99.74%。若樣本中還有異常點存在，則繼續(xù)剔除，循環(huán)往復(fù)，直至錯點全部被剔除。還是以表2中的第8組數(shù)據(jù)為例，我們對其進行了13次迭代，最后的結(jié)果就比較理想，本文認為不符合拉依達準則的點都是平均秩次法計算錯誤的點，因此同樣對于表2中第8組數(shù)據(jù)的3000個點，通過拉依達準則篩選完畢后，3000個數(shù)值只剩下2584個，也就是說有416個值用平均秩次法計算出來的結(jié)果是估計錯誤的，錯誤率達到了13.9%，而一般在工程應(yīng)用中，錯誤率大于5%就不可接受。

有效性分析

對表2（略）進行詳細觀察，我們可以從以下角度進行有效性分析：（1）從飛機架數(shù)/飛行天數(shù)即飛行小時數(shù)的不同可以看出，對于前6組，由于飛行小時數(shù)不足，平均樣本數(shù)基本都在10左右，平均秩次法計算結(jié)果的錯誤率普遍比較偏高。對于第二組這種實際MTBF達到了4000的高可靠性產(chǎn)品，其錯誤率更是達到了最大的28.9%。對于后面12組，當(dāng)飛行架數(shù)和飛行天數(shù)比較多時，樣本量達到一定程度之后，其錯誤率便大大降低。只有在樣本量大于30的情況下，平均秩次法的計算錯誤率才在5%的工程應(yīng)用可接受范圍之內(nèi)。（2）對于固定的飛行小時數(shù)，對比分析不同的實際MTBF值，我們可以看出，可靠性越高的產(chǎn)品，其計算結(jié)果錯誤率就越大。而對于同一實際MTBF的產(chǎn)品，其飛行小時數(shù)越大，錯誤率就越低。例如隨著飛行小時數(shù)的增加，對于MTBF為4000的樣品，其錯誤率分別為28.9%，13.9%和3.8%。而對于MTBF為1000的樣品，其錯誤率分別為8.7%，3.6%和1.0%。（3）刪失比是指在現(xiàn)場數(shù)據(jù)隨機截尾試驗中刪除的樣品和總樣品的比值。從表中我們可以粗略看出，刪失比越大，平均秩次法計算錯誤率越高。我們對刪失比和計算結(jié)果的錯誤率作了一個相關(guān)性分析，得出兩者的協(xié)方差系數(shù)為0.81，也證實了計算結(jié)果的錯誤率和刪失比成正比關(guān)系。只有刪失比在0.2以下時，平均秩次法的計算錯誤率才在5%的可接受范圍之內(nèi)。（4）對于樣本量在10左右并且樣本實際MTBF比較高的時候，雖然拉依達準則已經(jīng)剔除了很多數(shù)據(jù)異常點，然而最終計算結(jié)果的和和實際的誤差還是達到了10%以上。而對于樣本量比較大的時候則誤差一般在10%以下。