本文作者：聶淑媛 梁鐵旺 單位：洛陽師范學院數學科學學院 河南科技大學林業職業學院

皮爾遜總結指出，由于醉漢已經喪失了方向感，他第t步的位置可以視為第t－1步的位置再加上一個完全隨機的移動，因此，醉漢任意時刻的可能位置，即為一個隨機游動模型，最可能找到醉漢的地方是他的初始點附近，這就是時間序列分析歷史上很有趣的一個典故———隨機游動模型的誕生，也稱為醉漢模型．

當然，皮爾遜的比喻與當前的時間序列分析還是略有區別的:對皮爾遜而言，空間的取代與所走的步每次都是相等的，變化的只是角度;在現代自回歸過程中，時間間隔是相等的，每一方向上的距離是變化的．現代自回歸認為，雖然隨機游動模型的均值相對穩定，但其方差不穩定，隨機游動屬于非平穩過程，是非平穩線性自回歸ARIMA(p，d，q)模型中最簡單的ARIMA(0，1，0)情形．

隨著皮爾遜對隨機游動模型的定義，有些經濟學家和統計學家從極限擴散過程、試驗序貫分析、調查有限等待空間的隊列以及處理一個點或給定集合遞歸的首次通過時間等問題中也發現了隨機游動．近幾十年來，財經分析者開始利用隨機游動模型對股票、證券市場的價格變動進行建模，這一歷史可以追溯到法國數學家巴夏里埃(LouisJean-BaptisteAlphonseBachelier，1870—1946)．1900年，巴夏里埃在博士論文中［3］把以前分析賭博的方法應用于研究股票、債券、期貨和期權，使用類似的擴散模型進行證券推測，率先使用統計方法分析金融收益率問題，力求搜尋一個能夠表達市場波動可能性的公式．

為了確定某給定狀態下證券價格變化的數學期望，巴夏里埃探討了獨立增加的概念，并從本質上把隨機游動看作隨機差分方程yt－yt－1=ε，價格變化、一階差分是隨機元素，價格從t－1變化到t時的期望值為0．強調一點，巴夏里埃最具有開拓性的貢獻在于他認識到，隨機游動過程還是微觀粒子運動形成的一個模型，屬于物理學上的布朗運動(Brownianmotion)［4］．

1934年，美國斯坦福大學(StanfordUniversity)的統計學教授沃金(HolbrookWorking，1895—1985)進一步指出［5］，正如同巴夏里埃所分析的，金融資產的價格序列，尤其是股票價格，有與“隨機—差分序列”類似的特征:雖然序列不是隨機的，但一階差分是隨機的，并創建標準的隨機—差分序列圖表，以便于其它研究者檢驗自己的商品或股票價格序列與該標準相似的程度，這也可以看作是隨機游動模型的一個應用．

隨機游動模型歷史上的另一個關鍵人物是肯德爾(MauriceGeorgeKendall，1907—1983)．1953年，肯德爾在分析1883—1934年每周小麥價格的一階差分時，也驚奇地發現了隨機游動．盡管他的研究要稍微晚了一些，但他既不熟悉巴夏里埃的工作，也不了解隨機游動這一術語，而是通過市場獲得了隨機游動的思想．肯德爾指出［6］:如果序列是均勻的，從這一周到下一周價格的變化實際上獨立于從下一周到后一周的變化．從而表明，根據序列本身根本不可能預測從這一周到另一周的價格;如果序列實際上是游蕩的，則從中可以觀察到的趨勢或循環等任何系統特征都是假象，需要在目前的價格中增加隨機變量，以便于確定下一周的價格．

對兩類序列的方差進行比較，顯示了變異性的增強，從分析的觀點來看，序列不平穩，這是一件比較麻煩的事情，對于這種均值為常數、方差似乎在增加的時間序列來說，隨機游動可以作為這類模型的最佳描述．綜上所述，根據隨機游動模型可以知道，基于過去的表現，無法預測將來的發展步驟和方向，把這一術語放在金融市場上，則意味著股票價格的短期走勢無法預知，意味著所有的投資咨詢、收益預測和復雜的圖表模型都沒有太大的實際意義．

因此，并非所有的經濟學家和統計學家都滿意于這種模型．目前，隨機游動模型把有效市場理論(efficientmarkettheory)的核心思想與布朗運動聯系起來，由此形成了一整套的隨機數學方法，成為構建數理金融學(mathematicalfinance)的基石，在計量經濟學和金融學中有著廣泛的應用．