作者：劉鵬飛 徐乃楠 周巧姝 單位：吉林師范大學數學學院 長春師范學院

美國哈勃太空望遠鏡科學研究所著名天體物理學家馬里奧•里維奧（MarioLivio，1945-）撰寫的科普名著《IsGodaMathematician？》中提出一個疑問，并指出這個疑問曾令那些最富有創新精神的先賢們苦苦思索了幾個世紀：數學無處不在，無所不能。這些正會讓人們聯想到神的特征[1]。數學似乎不僅是描述和解釋整個宇宙最有效的工具，而且可以用來解釋最復雜的人類活動。

1數學何以有效

古希臘時期，數學作為一種神秘主義信仰而存在。直到中世紀基督教時期，數學逐漸促使人們從盲目的信仰轉向理性。隨著數學理性的發展和希臘學術的復興，一批具有理性主義的學者們提出宇宙的設計主要是數學設計，上帝成了數學家，研究自然界的數學設計成為最神圣的事業。隨著文藝復興后科學理論、科學公式的定量化、演繹的、具有嚴密邏輯結構的方式為人們所把握，人們終于拋棄了世俗的上帝，開始走向無神論和泛神論。對因果關系的信仰，宇宙統一理論的理想，世界合理性和可理解性的信念，成為支配科學家工作的基礎。數學的確定性、一致性和對因果關系的把握，已經深深融入西方文化的深層結構，成為人們的一種觀念，對近代西方文化產生了重要的影響。

16-18世紀的西方數學家，對于在宇宙體系構建上為什么數學奏效這個問題的回答是直截了當的。深受大自然是根據數學設計的這一古希臘信念的影響，并同樣受上帝根據數學設計了世界這一中世紀信條的影響，他們將數學看成通過自然界的真理之路。通過將上帝看成專注、至高的數學家，就有可能將對于大自然的數學規律的探求看成宗教追求。伽利略、笛卡爾、牛頓等一大批科學家們堅信世界的和諧是上帝的數學安排。上帝將嚴格的數學秩序給予了世界，而我們只能費勁千辛萬苦才能理解[2]。一直到愛因斯坦所信仰的“同深摯的感情結合在一起的、對經驗世界中所顯示出來的高超的理性的堅定信仰”的斯賓諾莎式的上帝概念[3]，自然神論———泛神論才成為愛因斯坦以及之后很多西方科學家的科學信仰和感情的基礎。非歐幾何誕生后，雖然很長一段時間內人們對數學的真理地位喪失了信心，對非歐幾何提出了眾多質疑，它能描述我們居住的物質世界嗎？但當它在愛因斯坦的相對論中得到回答時，數學這種神奇的有效性又使眾多數學家陷入思考，有些人開始認為數學是原本存在的，我們只是進行不斷的發現而已，有些人堅持認為數學只是我們的一種創造，現實世界并不存在，然而數學何以這么有效呢？愛因斯坦也驚嘆：“數學，這個獨立于人類經驗存在的人類思維產物，怎么會如此完美地與物理現實中的物質相一致”[1]？愛因斯坦在《我眼中的世界》(1934年)一文中進一步指出：“迄今為止，我們的經驗已經使我們有理由相信，自然界是可以想象得到的最簡單的數學觀念的實際體現。我堅信，我們能夠用純粹數學的構造來發現概念以及把這些概念聯系起來的定律，這些概念和定律是理解自然現象的鑰匙。經驗可以提供合適的數學觀念，但是數學概念無論如何都不能從經驗中推導出來。當然，經驗始終是檢驗數學結構的實用性的唯一標準，但是這種創造的原理都存在于數學之中。因此，在肯定的意義上，我當然地認為，像古人所夢想的純粹思維能夠把握實在”[4]。

非歐幾何在相對論理論上的成功，使人們對數學的觀念逐漸地發生轉變。對非歐幾何的確認，實際上就已經意味著從古希臘以來的、以數學為代表的“絕對真理觀”的終結。但不管怎么說，盡管數學失去了其在真理堡壘中的絕對位置，但它與物理世界很相契。無可回避的而且仍有無可估量的重要性的事實就是，數學是探究、發現和描述物理現象的最佳方法。在古希臘、中世紀、文藝復興時期及其后，數學都是有力的知識工具，即便是被賦予神學意義的時候仍認為上帝是按照數學規律設計這個世界的。

正如我們在近現代物理學的某些分支中見到的，數學是我們關于物理世界的知識之精髓。盡管數學結構本身并不是物理世界的實在，但它們是我們所擁有的唯一通向實在之門的鑰匙。“非歐幾何學的創立非但沒有毀掉數學的價值及對于其結果的信心，反而———非常吊詭地———增加了其實用性，因為數學家能夠自由地探索全新的概念，發現其中有些可應用。事實上，自1830年以來，數學在組織和控制大自然中的作用以幾乎不可相信的速度擴展了。此外，自牛頓時代以來，數學家描述和預言自然的過程的準確性大大增加了。[2]”黑洞理論是科學史上極為罕見的情形之一，在沒有任何觀測到的證據證明其理論是正確的情形下，作為數學的模型被發展到非常詳盡的地步。的確，這經常是反對黑洞的主要論據：你怎么能相信一個其依據只是基于令人懷疑的廣義相對論的計算的對象呢[5]？盡管數學因為非歐幾何的出現失去了絕對真理的地位，以及哥德爾定理導致的數學家們對數學基礎論爭的失敗，讓人們對數學的有效性產生了懷疑。但是，正如數學史家M•克萊因所說的：“也許人類的數學僅僅是一個可行的方案，也許自然本身更為復雜或者并沒有什么固有設計。但是，數學仍不失為一種探索，是掌握自然的一種方法。在那些數學行之有效的領域，它是我們的全部資本；如果它不是現實本身，它就是我們所能達到的與現實最接近的東西。……就知識的確定性而言，數學是一種理想，我們為這一理想而奮斗，盡管我們也許永遠不會達到。確定性也許只不過是我們在不斷捕捉的一個幻影，它是如此無止境地難于捉摸。然而，理想具有力量和價值，公正、民主和上帝都是理想。的確，也有在上帝的幌子下被謀殺的人，審判不公的案件也臭名遠揚，但是，這些理想是千百年來文化的重要產物。數學也是一樣，盡管它也僅是一種理想。也許細想這一理想將會使我們更加清楚地認識到在任一領域，我們該選擇什么方向才能獲取真理”[4]。

愛因斯坦相信人類的數學只有一少部分由實在主導。他在《相對論的意義》（1945年）中說道：“觀念的世界看來不能用邏輯的方法從經驗中推導出來，而從某種意義上說是人類心智的創造，沒有這種創造就沒有科學。盡管如此，這個觀念的世界程度很小地獨立于我們的經驗的本性，正如衣服程度很小地獨立于我們身體的形狀一樣”[2]。對于數學為什么有效，那些較早世紀與宗教有關的信念在現代被拋棄了。不過現在我們再回過頭來看著名物理學家詹姆斯•金斯提出的“宇宙似乎是由一位理論數學家設計的”這一問題，他認為“基本的事實就是這樣：科學現在給大自然所描繪的圖像（看來只有這些圖像能夠與觀察到的事實一致）是數學化的圖像……大自然似乎精通純數學的規則……不管怎么說這一點幾乎是無可爭辯的：大自然和我們的有意識的數學心智根據同樣的規律來運作。”著名數學家齊民友先生有力地回答了這一問題，數學作為人類文化的一個重要部分，既然是科學，它首先關心的當然還是我們生活于其中的宇宙。數學的探索意義究竟何在？就在于它對認識宇宙的本性上有重大貢獻。我們不贊成狹隘的近視的看法，認為一切數學研究都必須有某種具體的目的，或者用現行的說法叫做“有應用前景”。其實所謂的“前”可以有完全不同的理解，“眼前”固然是“前”，“前瞻若千年”也是前，區別在于人類社會在文化和物質上的發展程度。發展向上的社會，具有更高的文化、科學和物質生產水平，同樣也就會更認真地考慮各門科學的前景。但是，從根本上說，如果數學的研究不能在“認識宇宙”上開花結果，數學研究還有多少價值呢！“認識人類自己”其實也還是為了提高人的認識能力，去認識大自然和人類社會，否則數學也就成為一種宗教式的內省了。在這里我們沒有用“改造自然”的說法，因為人與自然究竟應該是什么關系，是不是簡單地按人類的需要來“改造”自然是一個很大的問題，當代科學的發展使我們懂得了人必須與大自然“和睦相處”。認識宇宙，也認識人類自己其實也還是為了找到正確的相處關系。我們一再強調過數學作為人類文化的一個重要特點，就是極端抽象的、甚至有時被誤解為“毫無意義”、“脫離實際”……的數學研究，可以根本改變人對大自然和人類自己的看法，甚至可以改變人類社會的面貌。人們很難回避一個結論：數學是人類全部技術的最重要的基礎[6]。